指数函数与对数函数易错点剖析&与指数函数、对数函数有关的最值(值域)问题-《中学生数理化》高一数学2023年11月刊

■郑 欣 易错点1:利用分段函数的单调性时,忽 略分段点 例 1 已 知 函 数 f (x ) = (a-2)x+1,x≤1, logax,x>1, 若f(x)在(-∞,+∞) 上单调递增,则实数a的取值范围为( )。 A.(0,1) B.(2,3] C.(1,2) D.(2,+∞) 错解:由题意可知,函数y=(a-2)x+1 在(-∞,1]上为增函数,则a-2>0,解得 a>2;函数y=logax 在(1,+∞)上为增函 数,则a>1。综上所述,a>2。应选D。 剖析:分段函数在R上单调递增,在每一 段都是递增的,在分段点处也是递增的。 正解:由题意可知,函数y=(a-2)x+1 在(-∞,1]上为增函数,则a-2>0,解得 a>2;函数y=logax 在(1,+∞)上为增函 数,则a>1。 在分段点x=1处,由a-3≤loga1=0, 解得a≤3。 综上所述,实数a 的取值范围是(2,3]。 应选B。 易错点2:求单调区间时,忽略函数的定 义域 例2 函数f(x)=lg(x2-2x-8)的单 调递增区间是( )。 A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 错解:因为内层函数u=x2-2x-8在 区间(-∞,1)上单调递减,在区间(1,+∞) 上单调递增,外层函数y=lgu 为增函数,所 以复合函数f(x)=lg(x2-2x-8)的单调递 增区间为(1,+∞)。应选C。 剖析:求函数的单调性往往容易忽略定 义域。要使函数f(x)=lg(x2-2x-8)有意 义,需要x2-2x-8>0,在优先考虑定义域 的前提下,才能讨论函数f(x)=lg(x2- 2x-8)单调性。 正解:对于函数f(x)=lg(x2-2x-8), 由x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4,所 以函数f(x)=lg(x2-2x-8)的定义域为 (-∞,-2)∪(4,+∞)。 内层函数u=x2-2x-8在区间(-∞, -2)上单调递减,在区间(4,+∞)上单调递 增,外层函数y=lgu 为增函数,结合复合函 数的单调性,可得函数f(x)=lg(x2-2x- 8)的单调递增区间为(4,+∞)。应选D。 1.函数y= -x2+4x+12的单调递减 区间为( )。 A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[2,6] D.[-2,2] 提示:对于函数y= -x2+4x+12,由 -x2+4x+12≥0,可得x2-4x-12≤0,解 得-2≤x≤6,所以此函数的定义域为[-2, 6]。内层函数u=-x2+4x+12在区间 [-2,2]上单调递增,在区间[2,6]上单调递 减,外层函数y= u为定义域上的增函数, 故此函数的单调递减区间为[2,6]。应选C。 2. 已 知 函 数 f (x ) = (1-3a)x+10a(x≤7), ax-7(x>7), 且 对 定 义 域 内 的 x1,x2(x1≠x2)都满足 f(x1)-f(x2) x1-x2 <0,则 实数a的取值范围是 。 提示:由题意可得函数f(x)在定义域内 是减函数,结合分段点处函数值的大小关系 可得 1-3a<0, 0<a<1, (1-3a)×7+10a≥a7-7=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 1 3< a≤ 6 11 ,所以实数a的取值范围是 13 ,6 11 。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 郭正华) 73 易错题归类剖析 高一数学 2023年11月 ■陈 敏1 张启兆2 求与指数函数、对数函数有关的最值(值 域)问题的关键是转化与化归思想的应用,下 面归类举例说明此类问题的求解方法。 一、求函数的最值 例1 设函数f(x)=logax(a>0且 a≠1)的图像经过点(2,1),当 2≤x≤4时, 求函数h(x)=f(2x)f x 8 的最值。 解:由函数f(x)=logax(a>0且a≠1) 的图像经过点(2,1),可得loga2=1,解得 a=2,所以函数f(x)=log2x,且定义域为 {x|x>0}。 所以 函 数 h(x)=f(2x)f x 8 = log2(2x)·log2 x 8 =(log2x+1)(log2x- 3),且x∈[2,4]。 令t=log2x,t∈ 1 2 ,2 ,则函数h(x)等 价于g(t)=(t+1)·(t-3)=t2-2t-3,其 对称轴为t=1。 因为函数g(t)在t∈ 1 2 ,1 上单调递 减,在t∈[1,2]上单调递增,所以h(x)min= g(t)min=g(1)=-4。 又因为g 1 2 =-154,g(2)=-3,所以 h(x)max=g(t)max=g(2)=-3。 故函数h(x)的最大