指数函数与对数函数考点直击-《中学生数理化》高一数学2023年11月刊

■易丽华 指数幂的运算与对数的运算这两个知识 点,既是学习和研究指数函数、对数函数的基 础,也是高考的必考知识之一,同学们在学习 中应给予足够的重视。指数函数、对数函数 是重要的基本初等函数,它们的图像与性质 是高考考查的重点。因为指数函数与对数函 数的图像与性质都与底数的取值有密切的联 系,所以在底数的取值不确定时,一定要注意 进行分类讨论。 考点一:指数函数、对数函数的定义域与 值域问题 例1 已知-3≤log1 2 x≤- 3 2 ,求函数 f(x)=log2 x 2 ·log2 x 4 的最大值和最小值。 解:由-3≤log1 2 x≤- 3 2 ,可 得3 2≤ log2x≤3,所以f(x)=log2 x 2 ·log2 x 4= (log2x -1)(log2x -2)= (log2x)2 - 3log2x+2=log2x- 3 2 2 - 1 4 。 故当 log2x=3 时,f(x)max =2,当 log2x= 3 2 时,f(x)min=- 1 4 。 求指数函数与对数函数 的定义域主要通过构建不等 式(组)来求解,有时解不等式(组)时需要借 助于指数函数与对数函数的单调性。涉及指 数函数与对数函数的值域问题有两个类型, 一是形如y=af(x)和y=logaf(x)的函数,先 要求出f(x)的值域,再利用指数函数与对数 函数的单调性求解,二是形如y=f(ax)和 y=f(logax)的函数,要根据ax 和logax 的 取值范围,利用函数y=f(x)的性质求解。 考点二:指数函数、对数函数的图像与性 质问题 例2 当0<x≤ 1 2 时,4x<logax,则a 的取值范围是( )。 A.0, 2 2 B. 22,1 C.(1,2) D.(2,2) 解:当0<x≤ 1 2 时,可得1<4x≤2。要 使4x<logax,由对数函数的性质得0<a< 1,根据数形结合法,可知需满足2<logax,所 以 0<a<1, loga 2<logax, 即 0<a<1 , a2>x 对0<x≤12 恒成立,所以 0<a<1, a2> 1 2 , 解得 22<a<1。应 选B。 解答这类问题要熟练掌 握指数函数、对数函数,以及 幂函数的图像与性质。对于方程与不等式问 题,可利用函数的单调性进行转化,也可利用 数形结合法解决,对于含参数的问题,要进行 分类讨论,同时还要注意参数本身的取值范 围,以免出现增根。 考点三:比较大小问题 例3 (1)若a=20.2,b=log43.2,c= log20.5,则( )。 A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a (2)设a= 25 2 3,b= 25 3 5,c= 35 2 5, 则a,b,c的大小关系是( )。 A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.b<c<a 解:(1)由a=20.2>1>b=log43.2>0> c=log20.5,可得a>b>c。应选A。 (2)函数y= 2 5 x 在定义域 R 上是减 函数,所以a= 25 2 5 >b= 25 3 5 >0。函数 12 知识结构与拓展 高一数学 2023年11月 y=x 2 5在定义域R上是增函数,且 3 5> 2 5 ,所 以c= 35 2 5 >a= 25 2 5。故a,b,c的大小 关系是b<a<c。应选B。 比较大小的常用方法有 单调性法,图像法,中间搭桥 法,作差法、作商法等。当需要比较大小的两 个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成 某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值, 然后利用该函数的单调性比较大小。 考点四:指数函数、对数函数的性质应用 问题 例4 若不等式(x-1)2<logax 在x∈ (1,2)上恒成立,求实数a的取值范围。 解:设函数f1(x)=(x-1)2,f2(x)= logax,要使当 x∈(1,2)时,不等 式(x- 1)2<logax 恒成立,只需f1(x)=(x-1)2 在 区间(1,2)上的图像在f2(x)=logax 图像的 下方即可。 当0<a<1时,显然不成立;当a>1时, 图1 画出图像,如图1所示。 当x∈(1,2)时,要 使f1(x)=(x-1)2 的 图像在f2(x)=logax 的 图 像 下 方,只 需 满 足 f1(2)≤f2(2),即(2- 1)2≤loga2,所以loga2≥1,所以a≤2,所以 1<a≤2。故实数a的取值范围是(1,2]。 解决对数函数的参数取 值范围问题应注意的三个方 面:对数函数图像的运用,也就是我们常说的 数形结合思想的应用;分类讨论思想的运用, 如果对数函数的底数是参数a,一般要分a> 1和