巧思维，妙应用——二分法-《中学生数理化》高一数学2023年11月刊

■晏 江 二分法,又称分半法,是求方程的近似解 的常用方法。二分法简便而又应用广泛,对 函数没有要求,任何方程都可以用二分法求 相应的近似解,这就为函数知识的拓展与应 用提供了一个更好的、更新的必需工具。 一、求方程的近似解问题 例1 已知函数f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次 计算,参考数据如表1所示。 表1 f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260 f(1.438)≈0.165 f(1.4065)≈-0.052 那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近 似解(精确度为0.05)为( )。 A.1.5 B.1.375 C.1.438 D.1.25 分析:先利用函数零点的存在定理确定零 点所在的区间,再结合零点所在区间的精确度 确定零点区间的端点即为方程的近似解。 解:因为 f(1.4065)=-0.052<0, f(1.438)=0.165>0,所以f(1.4065)· f(1.438)<0。根据函数零点的存在定理知 零点在区间(1.4065,1.438)内,即该方程的 根在区间(1.4065,1.438)内。 因为|1.4065-1.438|=0.0315<0.05,所 以方程的近似解为1.4065或1.438。应选C。 利用二分法求方程近似 解时,首先需要有初始区间, 即一个存在解的区间(要用到此区间的两端 点),其次需要有迭代,即循环运算的过程,具 体表现在不断“二分”区间,最后需要有一个 运算结束的标志,即当最终区间的两端点的 精确度均满足题设要求时(两端点的近似值 相同),运算终止。 二、零点的应用问题 例2 图1是函数f(x)的图像,它与x 轴有4个不同的公共点。给出的下列四个区 间之中,存在不能用二分法求出的零点,该零 点所在的区间是( )。 图1 A.[-2.1,-1] B.[4.1,5] C.[1.9,2.3] D.[5,6.1] 分析:利用二分法,确定零点所在区间的 两个端点所对应的函数值必须异号,由此判 断函数的零点所在的区间。 解:结合图像,可知选项 A,B,D中每个 区间的两个端点的函数值异号,可用二分法 求出零点。选项C中区间的两个端点的函数 值同号,不能用二分法求零点。应选C。 利用二分法求函数零点的 依据是函数零点的存在定理, 这也是利用二分法解决问题的必备条件。只 有在满足函数零点的存在定理的前提下,才能 利用二分法求函数的零点或方程的近似解。 三、次数的判断问题 例3 2是我们熟悉的无理数,在用二 分法求 2的近似值的过程中,可以构造函数 f(x)=x2-2(x>0),我们知道 f(1)· f(2)<0,所以 2∈(1,2)。要使 2的近似值 满足精确度为0.1,则对区间(1,2)至少二等 分的次数为( )。 A.3 B.4 C.5 D.6 分析:利用二分法求二等分次数时,每次 91 知识结构与拓展 高一数学 2023年11月 二等分后的区间长度为原来的 1 2 ,借助近似 值满足的精确度,合理构建相应的不等式,从 而求得二等分的次数。 解:设对区间(1,2)至少二等分n 次,此 时区间长为1。 第1次二等分后区间长为 1 2 ,第2次二等 分后区间长为 1 22 ,第3次二等分后区间长为 1 23 ,…,第n次二等分后区间长为 1 2n ,n∈N*。 依题意可得,1 2n <0.1,即2n>10,所以 n≥4。故n=4即为所求。应选B。 利用二分法解决问题时, 每经过一次操作,区间长度就 变为原来的一半。借助二分法解决问题的思 想方法,对于解决一些数学问题、现实生活问 题等,都有很好的帮助与指导意义。 四、实际应用问题 例4 华罗庚是上世纪我国伟大的数学 家,以华氏命名的数学科研成果有“华氏定 理”“华氏不等式”“华王方法”等。除了数学 理论研究,他还在生产一线大力推广了“优选 法”和“统筹法”。“优选法”是指研究如何用 较少的试验次数,迅速找到最优方案的一种 科学方法。在防疫取得重要进展的时刻,为 应对机场带来的境外输入,某机场海关在对 入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检 测效率:每16人为一组,把他们的鼻咽拭子 分泌物混合检查,如果为阴性则全部放行;若 为阳性,则对该16人再次抽检确认感染者。 某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检 验将会是阳性),若逐一检测可能需要15次 才能确认感染者。现在先把这16人均分为2 组,选其中一组8人的样本混合检查,若为阴 性则认定感染者在另一组;若为阳性,则认定 感染者在本组。继续把认定的这组的8人均 分为2组,选其中一组4人的样本混合检 查……以此类推,最