嵌套函数的零点问题-《中学生数理化》高一数学2023年11月刊

■盛文斌 嵌套函数作为复合函数的一种形式,在 高考命题中经常出现。嵌套函数分同一个函 数间的嵌套与不同函数间的嵌套,利用复合 函数的形式加以合理嵌套,巧妙融入零点及 其应用问题,成为高考中的一类比较综合的 创新应用问题,倍受大家的关注。 一、整体思维,分类讨论 对于一些相对简单的嵌套函数的零点问 题,可以将其内层函数加以整体化处理,借助 整体思维进行合理转化,由内到外通过分类 讨论,达到解决问题的目的。 例 1 已 知 函 数 f (x ) = x+1,x≤0, log2x,x>0, 则函数y=f[f(x)]+1的所 有零点构成的集合为 。 分析:根据题设条件,化嵌套函数的零点 问题为对应的方程问题,利用分段函数中变 量的取值范围,通过内层方程的求解,由内到 外结合外层方程的求解来确定原方程的解, 从而可得对应嵌套函数的零点。 解:依题意可令y=f[f(x)]+1=0,所 以f[f(x)]=-1。 当x≤0时,由f(x)=x+1=-1得 x=-2,由f(x)=-2得x+1=-2或 log2x=-2,解得x=-3或x= 1 4 ; 当x>0时,由f(x)=log2x=-1得 x= 1 2 ,由f(x)= 1 2 得x+1= 1 2 或log2x= 1 2 ,解得x=- 1 2 或x= 2。 综上可得,函数y=f[f(x)]+1的所有 零点构成的集合为 -3,- 1 2 ,1 4 ,2 。 涉及简单的嵌套函数的 零点问题,可结合内外层函数 之间的关系,通过内层函数的整体思维,先内 层处理,由内及外,后外层求解,分层分析,分 类讨论,结合内外层函数所对应的方程,达到 解题的目的。整体思维解决嵌套函数的零点 问题,是换元解套思维的简单形式。 二、换元解套,数形结合 对于一些相对复杂的嵌套函数的零点问 题,可以将内层函数进行换元处理,通过换 元,引入新参数,转化为新参数的外层函数问 题,进而回归问题本源加以分析与处理。 例 2 已 知 函 数 f (x ) = x+2,x<0, x2+ 1 2x ,x≥0, 则函数y=f[f(x)]-1的 零点个数为 。 分析:根据题设条件,化嵌套函数的零点 问题为对应的方程问题,通过内层函数的换 元处理,结合换元后方程的求解,以及分段函 数的图像来确定对应曲线与直线的交点个 数,即确定方程的解的个数,从而得到相应函 数的零点个数。 解:依题意可令y=f[f(x)]-1=0,可 得f[f(x)]=1。 令f(x)=t,由f(t)=1,可得t+2=1 或t2+ 1 2t=1 ,解得t=-1或t= -1+ 17 4 t= -1- 17 4 <0 ,舍去 。 图1 作 出 分 段 函 数y=f(x)的图 像,如图1所示。 结合函数y= f(x)的图像,可知 方程 f(x)= -1 有 1 个 解,方 程 f(x)= -1+ 17 4 有2个解,所以函数y= f[f(x)]-1的零点个数为3。 32 知识结构与拓展 高一数学 2023年11月 换元解套是处理嵌套函 数的零点问题的主要方法,解 答的两个步骤是:换元解套,通过换元t= g(x),引入参数,则y=f(t),将一个嵌套函 数的零点问题巧妙拆解为两个简单函数t= g(x)与y=f(t)的零点问题;解方程,利用 方程f(t)=0,确定参数t的值,代入方程 t=g(x)求出x 的值。在利用换元解套思维 解题时,可借助函数的图像进行数形结合,从 而达到直观处理问题的目的。 三、逆向思维,参数范围 解决一些含参数的嵌套函数的零点问 题,可以通过整体思维应用或换元解套思维 突破,加以合理的逆向思维,结合图像的直观 分析来确定参数的取值范围。 例3 已知函数f(x)=-x2-2x,函数 g(x)= x+ 1 4x ,x>0, x+1,x≤0, 若函数y=g[f(x)] -a有4个不同的零点,则实数a 的取值范 围是 。 分析:根据题设条件,化嵌套函数的零点 问题为对应的方程问题,利用函数y=f(x) 的值域,结合内层函数的换元处理,确定外层 函数y=g(t)(t<1)与y=a 的图像的交点 个数,从而借助数形结合来确定对应参数的 取值范围。 解:由题意知函数y=g[f(x)]-a 有4 个不同的零点,所以方程g[f(x)]-a=0有 4个不同的实数根。 令t=f(x)=-x2-2x=-(x+1)2+ 1≤1,由方程g[f(x)]-a=0,可得方程 g(t)=a(t≤1)有4个不同的实数根。 易知方程f(x)=t在t∈(-∞,1)内有 2个不同的实数根,即函数y=f(x)=-x2 -2x 与直线y=t(t<1)有2个不同的交点, 所以方程g(t)-a=0有4个不同的实数根 等价于函数y=g(t)(t<1)