例说指数函数单调性的应用&例说对数型函数的最值的应用-《中学生数理化》高一数学2023年11月刊

■向正银 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)是高中 数学重点研究的基本初等函数之一,也是高 考重点考查的知识点。指数函数的单调性应 用很广泛,下面就四个方面的应用进行举例 分析。 一、利用指数函数的单调性比较大小 例1 设y1= 1 2 -2023 ,y2=160.25,y3= 4-0.9,则y1,y2,y3 的大小关系是 。 因为y1= 1 2 -2023 =22023, y2=160.25=21,y3=4-0.9=2-1.8,又函数y= 2x 是R上的增函数,-1.8<1<2023,所以 y1>y2>y3。 评注:把y1,y2,y3 化成同底数幂的形式, 再根据指数函数y=2x 的单调性比较大小。 二、利用指数函数的单调性解不等式 例2 已知函数f(x)是定义在 R上的 奇函数,当x>0时,f(x)=1-2-x,则不等 式f(x)<- 1 2 的解集是( )。 A.(-∞,-1) B.(-∞,-1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 因为f(1)=1-2-1= 1 2 ,又 函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1) =- 1 2 ,所以不等式 f(x)<- 1 2 等价于 f(x)<f(-1)。 当x>0时,f(x)=1-2-x=1- 1 2 x 单调递增,且0<f(x)<1,所以f(x)在 (-∞,0)上单调递增。由f(x)<f(-1), 可得x<-1,所以不等式f(x)<- 1 2 的解 集为(-∞,-1)。应选A。 评注:奇函数在对称的区间上具有相同 的单调性。 三、利用指数函数的单调性求参数的值 例3 函数y=ax(a>0,且a≠1)在[0, 1]上的最大值与最小值的和为3,则a 等 于( )。 A. 1 2 B.2 C.4 D. 1 4 当a>1时,y=ax 为单调 递增函数,所以y=ax 在[0,1] 上的最值分别为ymax=a1=a,ymin=a0=1, 所以a+1=3,即a=2。 当0<a<1时,y=ax 为单调递减函数, 所以y=ax 在[0,1]上的最值分别为ymax= a0=1,ymin=a1=a,所以a+1=3,即a=2, 与0<a<1矛盾,舍去。应选B。 评注:函数y=ax(a>0,且a≠1)的单调性 与a的取值范围有关,需要对a分情况讨论。 四、利用指数函数的单调性求参数的范围 例4 若函数f(x)=2x-4x-m 在区 间[-1,1]上存在零点,则实数 m 的取值范 围为 。 因为f(x)=2x-4x-m 在 区间[-1,1]上存在零点,所以 g(x)=2x-4x 与y=m 在[-1,1]上有交 点,即方程m=2x-4x 有解。因为函数y= 2x 在[-1,1]上单调递增,所以2x∈ 12 ,2 。 设u=2x,u∈ 12 ,2 ,则函数g(x)等价 于h(u)=u-u2=- u- 1 2 2 + 1 4 ,所以 h(u)∈ -2, 1 4 。要使g(x)=2x-4x 与 y=m 在[-1,1]上有交点,则实数m 的取值 范围为 -2, 1 4 。 评注:根据函数的零点定义,问题转化为 函数g(x)=2x-4x 与y=m 的图像在[-1, 1]上有交点,求出g(x)的值域,即h(u)的值 域,可得实数m 的取值范围。 作者单位:湖北省兴山县第一中学 (责任编辑 郭正华) 9 知识结构与拓展 高一数学 2023年11月 ■薛忠云 函数的最值是函数的重要性质之一,下 面从六个方面介绍对数型函数的最值的应 用,希望对大家的学习有所帮助。 一、已知函数的最值求参数的值 例1 若函数f(x)=2logax+2(a>0, 且a≠1)在区间 12 ,4 上的最大值为6,则a 的值为 。 当0<a<1时,函数f(x) 在区间 1 2 ,4 上为减函数,可得 f(x)max=2loga 1 2+2=6 ,所以loga 1 2=2 , 所以a= 2 2 。 当a>1时,函数f(x)在区间 1 2 ,4 上 为增函数,所以f(x)max=2loga4+2=6,所 以loga4=2,所以a=2。 综上所述,a=2或a= 2 2 。 评注:对0<a<1,a>1这两种情况进行 讨论,利用f(x)在区间 1 2 ,4 上的单调性, 得到关于实数a的等式,最后求出a的值。 二、已知函数的最值求其他函数的最值 例2 已知函数f(x)=x-lnx 的最小 值为1,则函数g(x)= 2 x+lnx 的最小值为 。 令f(t)=t-lnt且t>0, 则f(t)min=1。 若t= 2 x>0 ,则f(t)=y= 2 x-ln 2 x= 2 x+lnx-ln2 ,所以 f(t)min=[g(x)- ln2]min=g