类型全归纳，问题妙突破—函数零点的存在定理的应用-《中学生数理化》高一数学2023年11月刊

■聂 然 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 像是一条连续不断的 曲 线,并 且 f(a)· f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内 有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这 个c也就是方程f(x)=0的根。利用函数零 点存在定理,可以解决一些涉及函数与方程 方面的综合应用问题。 一、零点区间的判断 例1 函数f(x)=lnx+ex 的零点所在 的区间是( )。 A.0, 1 e B.1e,1 C.(1,e) D.(e,+∞) 分析:根据题设条件,通过对应函数在各 区间的端点处的取值的正负情况,结合函数 零点的存在定理,即可确定零点所在的区间。 对于一些特殊点,可以采用极限思维来综合 分析与处理。 解:因为f(1)=e>0,f 1 e =-1+ e 1 e>0,f(e)=1+ee>0,而当x→0时,f(x) =lnx+ex<0,所以根据函数零点的存在定 理可知,该函数的零点所在的区间是 0, 1 e 。 应选A。 本题主要考查函数零点 的存在定理及其应用。解答 这类问题的基本方法是:结合函数f(x)在各 点处的函数值的正负情况,利用函数零点的 存在定理f(a)·f(b)<0来判断零点所在 的区间(a,b)。 二、零点个数的确定 例2 函数f(x)=ex+3x 的零点个数 是( )。 A.0 B.1 C.2 D.3 分析:因为函数y1=ex 与y2=3x 都是 R上的单调递增函数,所以函数f(x)=ex+ 3x 的图像是一条连续不断的曲线。在此基 础上,结合函数零点的存在定理即可确定零 点的个数。 解:已知函数y1=ex 与y2=3x 都是 R 上的增函数,所以函数f(x)=ex+3x 在 R 上单调递增。 因为f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+ 3>0,所以f(-1)·f(1)<0,所以函数 f(x)=ex+3x 在区间(-1,1)内存在零点, 因此f(x)的零点个数是1。应选B。 本题主要考查函数零点 的存在定理及其应用。解答 这类问题的基本方法是:先确定函数f(x)的 图像特征(若图像是一条连续不断的曲线,则 具有单调性),再利用函数零点的存在定理 f(a)·f(b)<0来确定零点的个数。 三、参数范围的确定 例3 若函数f(x)=2ax2-x-1在 (0,1)内恰有一个零点,则a 的取值范围是 ( )。 A.(-1,1) B.[1,+∞) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 分析:通过参数a 的取值情况的分类讨 论,结合函数在区间(0,1)内恰有一个零点的 条件,合理建立相应的不等式组求解。 解:当a=0时,由f(x)=-x-1=0, 解得x=-1,此时函数的零点是x=-1,不 在区间(0,1)内。 当a≠0时,函数f(x)=2ax2-x-1在 (0,1)内恰有一个零点,由Δ>0且f(0)· f(1)< 0, 可 得 Δ=1+8a>0, -(2a-2)<0, 解 得 a>- 1 8 , a>1, 即a>1;由Δ=0,可得a=-18, 此时函数的零点是x=-2,不在区间(0, 51 知识结构与拓展 高一数学 2023年11月 1)内。 综上可知,a>1。应选C。 本题主要考查函数零点 的存在定理及其应用。解答 这类问题的基本方法是:根据参数的情况进 行分类讨论,再结合函数零点的存在定理 f(a)·f(b)<0,以及对应函数建立相应的 不等式(组),最后求出参数的取值范围。 四、函数值大小的判断 例4 已知x0 是函数f(x)=2x+ 1 1-x 的一 个 零 点,若 x1∈ (1,x0),x2∈ (x0, +∞),则( )。 A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 分析:根据题设条件,先确定函数g(x) = 1 1-x 与函数h(x)=2x 在区间(1,+∞)上 的单调性,即得零点的唯一性,再结合函数零 点的存在定理与函数的单调性即可判断函数 值的大小关系。 解:设函数g(x)= 1 1-x ,h(x)=2x。由 于函数g(x)= 1 1-x=- 1 x-1 在(1,+∞)上 单调递增,h(x)=2x 在(1,+∞)上单调递 增,故函数f(x)=h(x)+g(x)=2x+ 1 1-x 在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在 (1,+∞)上有唯一零点x0,即f(x0)=0,所 以在(1,x0)上f(x1)<0,在(x0,+∞)上 f(x2)>0。应选B。 本题主要考查函数零点 的存在定理及其应用。解答 这类问题的基本方法是:先确定函数f(x)的 单调性(若图像是一条连续不断的曲线,则具 有单调性