借助函数模型，解决应用问题-《中学生数理化》高一数学2023年11月刊

■刘红霞 数学来源于现实生活,又应用于现实生 活,它们是紧密联系的。下面以函数模型的 构建与分析为实例,借助函数模型来分析与 解决实际应用问题。 1.指数型函数模型 例1 用打点滴的方式治疗“新冠”病患 时,血药浓度(血药浓度是指药物吸收后,在 血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合 c1(t)= m0 kV (1-2-kt),其函数图像如图1所 图1 示,其中V 为中心室体 积(一般成年人的中心室 体积近似为600),m0 为 药物进入人体时的速率, k是药物的分解或排泄 速率与当前浓度的比值。 此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4 到15之间,当达到上限浓度时,必须马上停 止注射,之后血药浓度随时间变化的函数符 合c2(t)=c·2-kt,其中c为停药时的人体血 药浓度。 (1)求出函数c1(t)的解析式。 (2)一病患开始注射后,最迟隔多长时间 停止注射? 为保证治疗效果,最多再隔多长 时间开始进行第二次注射? (结果保留小数 点后一位,参考数据lg2≈0.3,lg3≈0.48) 解:(1)由题设条件可知,V=600。由图 可知,点(4,8),(8,12)在函数图像上,所以 m0 600k (1-2-4k)=8, m0 600k (1-2)-8k=12。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 两式相除得 1-2-4k 1-2-8k = 2 3 ,即 1-2 -4k 1-(2-4k)2 = 2 3 ,解得k= 1 4 (k=0,舍 去),所以m0=2400。 故函数c1(t)=16(1-2 -t4)(t≥0)。 (2)依题意得16(1-2 -t4)≤15,所以1- 2 -t4≤ 15 16 ,整理得2 -t4≥ 1 16=2 -4,解得t≤16, 所以0≤t≤16。所以从开始注射,最迟隔 16h停止注射。 由k= 1 4 ,可得c2(t)=c·2 -t4。由题意 可知c=15,所以c2(t)=15·2 -t4。 当15·2 -t4 ≥4时,可得2 -t4 ≥ 4 15 ,即 - t 4≥log2 4 15 ,整理得- t 4≥2-log215 ,即 - t 4 ≥2- lg15 lg2 ,化 简 得 - t 4 ≥2- lg3+lg5 lg2 ,即- t 4≥2- lg3-lg2+1 lg2 ,解得 t≤7.7,即0≤t≤7.7。所以为保证治疗效 果,最多再隔7.7h开始进行第二次注射。 解决这类问题,要掌握指 数函数的单调性,要熟悉指数 式与对数式的互化。 2.对数型函数模型 例2 2020年12月17日凌晨,经过23 天的月球采样旅行,嫦娥五号返回器携带月 球样品成功着陆预定区域,我国首次对外天 体无人采样返回任务取得圆满成功,成为时 隔40多年来首个完成落月采样并返回地球 的国家,标志着我国探月工程“绕,落,回”圆 满收官。近年来,得益于我国先进的运载火 箭技术,我国在航天领域取得了巨大成就。 据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理 想状态下,可以用公式v=v0·ln M m 计算火 箭的最大速度v(m/s),其中v0(m/s)是喷流 相对速度,m(kg)是火箭(除推进剂外)的质 量,M(kg)是推进剂与火箭质量的总和, M m 称 52 知识结构与拓展 高一数学 2023年11月 为“总质比”,已知A 型火箭的喷流相对速度 为1000m/s。 (1)当总质比为200时,利用给出的参考 数据求A 型火箭的最大速度。 (2)经过材料更新和技术改进后,A 型火 箭的喷流相对速度提高到了原来的 3 2 倍,总 质比变为原来的 1 3 ,若要使火箭的最大速度 至少增加500m/s,求在材料更新和技术改进 前 总 质 比 的 最 小 整 数 值。(参 考 数 据: ln200≈5.3,2.718<e<2.719) 解:(1)由题意得v=v0ln M m ≈1000× 5.3=5300(m/s)。 (2)由题意得v1=v0ln M m=1000ln M m , v2= 3 2v0ln M 3m=1500ln M 3m 。 要使火箭的最大速度至少增加500m/s, 只需v2-v1=1500ln M 3m-1000ln M m≥500 , 即3ln M 3m-2ln M m≥1 ,所以3ln M 3m-2ln M m =ln M3m 3 -lnMm 2 =ln M 3m 3 M m 2=ln M 27m≥ 1,即 M 27m≥e ,所以M m≥27e 。因为2.718<e< 2.719,所以73.386<27e<73.431,所以在材料 更新和技术改进前总质比的最小整数为74。 对数型函数应用问题的 基本类型和求解策略:先根据 实际情况求出函数解析式中的参数,或给