和你一起学习对数的换底公式&小议对数中的求值问题-《中学生数理化》高一数学2023年11月刊

■刘长柏 对数的换底公式可以实现不同底数的对 数式之间的转化,它可正用、逆用,还可以变 形应用。灵活应用对数的换底公式,有利于 提高解题能力和应变能力。 一、换底公式的正用 例1 若log142=a,14b=5,用a,b表示 log3528= 。 解:因为14b=5,所以b=log145,所以 log3528= log1428 log1435 = log1414+log142 log1414+log145-log142 = 1+a 1+b-a 。 对数的换底公式中的底, 可由题中的条件决定,也可换 为常用对数的底。用已知对数的值表示所求 对数的值的关键是灵活“换底”。 练习1:已知lg2=a,lg3=b,则log475 =( )。 A. a-b+2 2a B. b-2a+2 2a C. b-a+2 2a D. 2a-b+2 2a 提示:因为log475= lg75 lg4 = lg3×52 2lg2 = lg3+2lg5 2lg2 = lg3+2(1-lg2) 2lg2 ,又lg2=a, lg3=b,所以log475= b+2-2a 2a 。应选B。 二、换底公式的逆用 例2 若2x=5,log35=y,则 x-y x+y = 。 解:因为2x =5,所 以 x=log25,所 以 x-y x+y = 1 y- 1 x 1 y+ 1 x = log53-log52 log53+log52 = log5 2 3 log56 = log6 2 3 。 逆向应用对数的换底公 式是解答本题的关键。 练习2:已知2x=3,log2 8 9=y ,则y x= 。 提示:由2x=3,可得x=log23。因为 y=log2 8 9 ,所 以y x = log2 8 9 log23 =log3 8 9 = 3log32-2。 三、换底公式的变形应用 例3 若12a=3b=m,且 1 a- 1 b=2 ,则 m= 。 解:因为12a=3b=m,且 1 a- 1 b=2 ,所以 m>0且m≠1,所以a=log12m,b=log3m,所以 1 a=logm12 ,1 b=logm3 ,所以1 a- 1 b=logm12- logm3=logm4=2,所以m=2。 换底公式的变形式logab = 1 logba ,体现了底数、真数交 换后,两个对数的关系。本题将指数式转化 为对数式,求出1 a ,1 b ,代入1 a- 1 b=2 ,再利 用对数的运算性质得到m 的值。 练习3:已知3a=5b=A,且 1 a+ 2 b=2 , 则A 等于 。 提示:由3a=5b=A,可得a=log3A,b= log5A,且A>0,所以 1 a=logA3 ,1 b=logA5 。 因为 1 a+ 2 b=2 ,所以logA3+2logA5=2,可 得logA3+logA25=2,即logA75=2,所以 A2=75。因为A>0,所以A=53。 作者单位:江苏省盐城市时杨中学 (责任编辑 郭正华) 6 知识结构与拓展 高一数学 2023年11月 ■金海平 对数是高中数学中的重要知识点,对数 中的求值问题是同学们容易出错的地方,解 这类问题的关键是弄清题意,选准公式,细心 计算。 一、利用两个同底的对数相等求值 例1 设lga+lgb=2lg(a-2b),则 log4 b a 的值为 。 解:因为lga+lgb=2lg(a-2b),所以 a>0,b>0,a-2b>0,所以ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0,解得a=4b或a=b(舍 去),所以log4 b a=-1 。 利用两个同底的对数相 等,得到真数相等,再通过转 化即可求值,但要注意对数的真数恒为正。 二、利用对数的性质求值 例2 计算:log1 3 27+elne= 。 解:log1 3 27+elne=log3 -3+e=-3+e。 利用对数恒等式loga N =N(a>0,且a≠1,N∈R), aloga N =N(a>0,且a≠1,N>0)时,一定要 注意公式的结构,当指数的底数和对数的底 数是同一个数时,才能用此公式。 三、利用对数与指数的转化关系求值 例3 若2a=5b=10,则 2 a+ 2 b 的值为 。 解:因为2a=5b=10,所以a=log210, b=log510,所以 2 a+ 2 b=2lg2+2lg5=2 。 对数源于指数,对数与指 数互为逆运算。对数与指数 之间的关系:当a>0,且a≠1时,ax=N⇔ x=logaN。 四、利用对数的换底公式求值 例4 若xlog38=1,则8x+8-x 的值为 。 解:因为xlog38=1,所以x=log83,所以 8x+8-x=8log8 3 +