根据函数零点的个数求参数问题例析-《中学生数理化》高一数学2023年11月刊

■刘登丽 函数的零点是函数的重要性质,是高考 的常考点。解答这类问题,需要借助函数的 图像、性质等知识。 一、无零点问题 例1 若函数f(x)=mx-m+1在区 间[0,1]上无零点,则实数 m 的取值范围为 ( )。 A.0<m<1 B.m>1 C.m<0 D.m<1 解:当m=0时,可得f(x)=1,此时函 数f(x)无零点,符合题意。 当m≠0时,令f(x)=0,则x= m-1 m 。 由x= m-1 m <0 或x= m-1 m >1 ,解得0< m<1或m<0,符合题意。 综上可知,函数f(x)=mx-m+1在区 间[0,1]上无零点,则m<1。应选D。 评注:解题时,不能忽视m=0的情况。 二、存在零点问题 例2 若函数f(x)=e-x-ln(x+a)在 (0,+∞)上存在零点,则实数a 的取值范围 为 。 解:由题意知函数y=e-x 与g(x)= ln(x+a)的图像在(0,+∞)上有交点,画出这两 图1 个函 数 的 大 致 图 像,如图1所示。 由图可知,当 a>0时,g(x)= ln(x+a)的图像 是由函数y=lnx 的图像向左平移a 个单 位 长 度 得 到 的,根据图像可知此时只需要g(0)=lna< 1,即0<a<e;当a≤0时,g(x)=ln(x+a) 的图像是由函数y=lnx 的图像向右平移 -a个单位长度得到的,此时在(0,+∞)上 y=e-x 与g(x)的图像恒有交点,满足条件。 综上可得,a<e,即实数a的取值范围是 (-∞,e)。 评注:对于函数f(x),当a>0时,函数 f(x+a)的图像是由f(x)的图像向左平移 a 个 单 位 长 度 得 到 的;当 a<0 时,函 数 f(x+a)的图像是由f(x)的图像向右平移 -a个单位长度得到的。 三、一个零点问题 例3 (1)若2是函数f(x)=a·2x- log2x 的零点,则a= 。 (2)函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一 个零点,则实数a的值为 。 解:(1)由题意得f(2)=4a-1=0,所以 a= 1 4 。 (2)当 a=0时,f(x)=-x-1,令 f(x)=0,可得x=-1,所以f(x)有一个零 点为-1。当a≠0时,由Δ=1+4a=0,可得 a=- 1 4 。 故满足条件的实数a的值为0或- 1 4 。 评注:对于一元二次方程,当Δ=0时,方 程有两个相等实根;当Δ>0时,方程有两个 不相等实根;当Δ<0时,方程无实根。 四、两个零点问题 例4 (1)若α,β 是二次函数y=x2+ 3x-6的两个零点,则α2-3β的值为 。 (2)已 知 实 数 a>0,函 数 f(x)= x2-2ax,x≤1, log1 2 x,x>1, 若方程f(x)=-34a2 有且 仅有两个不等实根,且较大实根大于2,则实 数a的取值范围是 。 解:(1)因为α,β 是二次函数y=x2+ 71 知识结构与拓展 高一数学 2023年11月 3x-6的两个零点,所以α,β 是方程x2+ 3x- 6 = 0 的 两 个 实 根, 所 以 α2+3α-6=0, α+β=-3, 所以α2-3β=α2-3(-3- α)=α2+3α+9=6+9=15。 (2)当x>1时,f(x)=- 3 4a 2 等价于 log1 2 x=- 3 4a 2,则x=2 3 4a 2 >20=1,这时 a>0,符合要求。 当x≤1时,f(x)=- 3 4a 2 等价于x2- 2ax=- 3 4a 2,即(x-a)2= 1 4a 2。因为a> 0,所以x-a=± 1 2a ,解得x= 1 2a 或x= 3 2a 。因为1 2a< 3 2a ,且方程f(x)=- 3 4a 2 有且仅有两个不等实根,所以 1 2a≤1 , 3 2a>1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 2 3<a≤2 。已知较大实根大于2,若 3 2a>2 , 则a> 4 3 ;若2 3 4a 2 >2,则 a> 23 3 或 a< - 23 3 (舍去)。 综上可得,23 3 <a≤2 ,即实数a的取值 范围为 23 3 ,2 􀭤􀭥 􀪁􀪁 。 评注:分段函数的零点个数是各段函数 零点个数之和。 五、三个零点问题 例 5 已 知 函 数 f (x ) = ln(-x-1),x<-1, 2x+1,x≥-1, 若 函 数 g (x)= f[f(x)]-a有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是 。 解:设t=f(x)。令f[f(x)]-a=0, 则a=f(t)。 在同一坐标系内,画出y=a,y=f(t)的 大致图像,如图2所示。 由图可得,当a≥-1时,y=a 与y= 图2 f(t)的图像有 两 个 交 点,