对数函数几种典型考题解读&指数函数与对数函数常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2023年11月刊

■高红霞 对数函数是高中数学中重要的基本初等 函数之一,下面就对数函数的定义、性质和相 关应用进行举例分析。 题型1:对数函数的概念 对数在数学中应用广泛且意义深刻,因 此对数常被用来研究各种有关数的计算或证 明问题。 例1 17世纪,在研究天文学的过程中, 为了简化大数运算,苏格兰数学家纳皮尔发 明了对数,对数的思想方法即把乘方和乘法 运算分别转化成乘法和加法运算,数学家拉 普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把 天文学家的寿命延长了许多倍”。已知ln2= 0.6931,ln3=1.0986,设N=45×2710,则N 所在的区间为( )。 A.(e38,e39) B.(e39,e40) C.(e40,e41) D.(e41,e42) 解:因 为 N =45×2710,所 以lnN = ln45+ln2710=ln210 +ln330 =10ln2+ 30ln3=0.6931×10+1.0986×30= 39.889,所以N=e39.889∈(e39,e40)。应选B。 点拨:解决这类问题要熟练掌握对数的 概念与运算性质,以及对数换底公式的应用。 题型2:对数函数的图像与性质 解答这类问题,可利用所给信息画出函 数的大致图像,通过图像和对数函数的性质 (如单调性和经过的特殊点)来解决问题。 例2 函 数 f(x)=x[ln(x+1)- ln(1-x)]的部分图像大致是( )。 解:由 x+1>0, 1-x>0, 可得-1<x<1,所以 函数f(x)的定义域为(-1,1)。对于∀x∈ (-1,1),因为f(-x)=-x[ln(1-x)- ln(1+x)]=x[ln(1+x)-ln(1-x)]= f(x),所以f(x)为偶函数,排除 A,B。当 0<x<1时,1+x>1-x>0,则ln(1+x)> ln(1-x),此时f(x)=x[ln(1+x)-ln(1- x)]>0,排除D。应选C。 点拨:由对数函数的解析式,可求对数函 数的图像经过的特殊点,通过底数a 的值可 判断对数函数的单调性。 题型3:对数函数的应用 这类问题主要考查对数函数与其他函数 的交汇应用。 例3 已知函数f(x)=b·ax(a,b为常 数,且a>0,a≠1)的图像经过点 A(1,6), B(3,24)。下列四个结论:①a=2;②b=4; ③函数y=f(x)-5仅有一个零点;④若不 等式ax+bx-m≥0在x∈[1,+∞)上恒成 立,则实数m 的取值范围为(-∞,5]。 其中正确结论的序号是 。 解:依题意得 b·a1=6, b·a3=24, 解得a=2(负 根舍去),b=3,①正确,②错误。函数y= 3·2x-5在 R上递增,当x=0时,y=3· 20-5=-2<0,当x=2时,y=3·22-5= 7>0,所以函数y=3·2x-5在 R上有唯一 零点,③正确。不等式ax+bx-m≥0在x∈ [1,+∞)上恒成立,即m≤2x+3x 在x∈[1, +∞)上恒成立,因为y=2x+3x 在[1,+∞) 上单调递增,其最小值为21+31=5,所以 m≤5,④正确。答案为①③④。 点 拨:需 要 注 意 的 是,函 数 不 满 足 f(a)·f(b)<0,也可能存在零点。 作者单位:江苏省盐城市田家炳中学 (责任编辑 郭正华) 24 经典题突破方法 高一数学 2023年11月 ■赵 昆 张文伟 指数函数与对数函数是基本的初等函 数,指数函数与对数函数是高考的常考点。 这部分的主要知识点有:指数、对数的化简与 求值,指数函数与对数函数的图像与性质的 应用,利用指数函数和对数函数解决某些简 单的实际问题,函数的零点问题,函数模型的 应用问题等。 题型1:有条件的根式的化简 有条件根式的化简问题,是指被开方数 或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方 式进行化简。有条件根式的化简经常用到配 方法。当根指数为偶数时,利用公式化简,要 考虑被开方数或被开方的表达式的正负。 例1 已知a 1 2+a -12=3,求下列各式 的值。 (1)a + a-1。 (2)a2 + a-2。 (3) a2+a-2-2 a 3 2+a -32-3 。 解:(1)将a 1 2+a -12=3两边平方得a+ a-1+2=9,所以a+a-1=7。 (2)将a+a-1=7两边平方得a2+a-2+ 2=49,所以a2+a-2=47。 (3)因为a 3 2+a -32= a 1 2 3+ a -12 3= a 1 2+a -12 a-a 1 2·a -12+a-1 =3(a + a-1-1)=3(7-1)=18,而a2+a-2=47,所 以原式= 47-2 18-3= 45 15=3 。 跟踪 训 练 1:若 x 1