对数函数的探究性问题的求解策略&指数函数与对数函数的“有缘相聚”-《中学生数理化》高一数学2023年11月刊

■王佩其 对数函数的探究性问题,不仅要考查对 数函数的性质,也要考查内层函数的性质,且 不可顾此失彼。 一、对数函数与一次函数的综合 形如f(x)=loga(kx+b)的函数,称为 一次函数与对数函数的复合函数。 例1 已知函数f(x)=loga(3-ax)。 (1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意 义,求实数a的取值范围。 (2)是否存在这样的实数a,使得f(x) 在区间[1,2]上为减函数,且最大值为1? 如 果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由。 解:(1)已知a>0且a≠1,设t(x)=3- ax,则t(x)=3-ax 为减函数。当x∈[0, 2]时,t(x)的最小值为3-2a,当x∈[0,2] 时,f(x)恒有意义,即当x∈[0,2]时,3- ax>0恒成立,所以3-2a>0,所以a< 3 2 。 因为a>0且a≠1,所以实数a∈(0,1) ∪ 1, 3 2 。 (2)由t(x)=3-ax,可知t(x)为减函 数。因为f(x)在区间[1,2]上为减函数,所 以y=logat为增函数,所以a>1。当x∈ [1,2]时,函数t(x)的最小值为3-2a,函数 f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a),所以 3-2a>0, loga(3-a)=1, 解 得 a< 3 2 , a= 3 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 这 时 a 不 存在。 故不存在这样的实数a,使得f(x)在区 间[1,2]上为减函数,且最大值为1。 涉及函数的性质,都要在 其定义域上讨论。利用对数 函数的单调性时,一定要明确底数a 的取值 对函数增减性的影响,以及真数必须为正的 限制条件。 二、对数函数与二次函数的综合 形如f(x)=logm(ax2+bx+c)(a≠0) 的函数,称为二次函数与对数函数的复合函 数。 例2 已 知 函 数 f(x)=log1 2 (x2- 2ax+3)。 (1)若f(-1)=-3,求f(x)的单调区 间。 (2)是 否 存 在 实 数 a,使 得 f(x)在 (-∞,2)上为增函数? 若存在,求出a 的范 围;若不存在,说明理由。 解:(1)由f(-1)=-3,可得log1 2 (4+ 2a)=-3,所以4+2a=8,所以a=2,这时 f(x)=log1 2 (x2-4x+3)。由x2-4x+3> 0,可得x>3或x<1,所以函数的定义域为 (-∞,1)∪(3,+∞)。令g(x)=x2-4x+ 3,则g(x)在(-∞,1)上单调递减,在(3, +∞)上单调递增。又y=log1 2 x 是减函数, 所以f(x)的单调递增区间是(-∞,1),单调 递减区间是(3,+∞)。 (2)令g(x)=x2-2ax+3,要使f(x) 在(-∞,2)上为增函数,需满足 g(x)在 (-∞,2)上 单 调 递 减,且 恒 大 于 0,所 以 a≥2, g(2)≥0, 即 a≥2 , 7-4a≥0, 这时a无解。 故不存在实数a,使得f(x)在(-∞,2) 上为增函数。 求与对数函数有关的复 合函数的值域或单调性问题 时,必须弄清三个方面的问题:一是定义域, 所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数 与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它 是由哪些基本初等函数复合而成的。 作者单位:江苏省太仓市明德高级中学 (责任编辑 郭正华) 21 知识结构与拓展 高一数学 2023年11月 ■向光荣 指数函数与对数函数都是基本初等函 数,它们常常在一个题目中“相聚”。 一、“相聚”在求值问题中 例 1 已 知 函 数 f (x ) = log1 2 (x-1),x>1, 2x+1,x≤1, 则f[f(3)]=( )。 A.-1 B.0 C.1 D.4 因为f(3)=log1 2 (3-1)= log1 2 2=-1,所以f[f(3)]= f(-1)=2-1+1=20=1。应选C。 评注:分段函数的求值问题,应注意各段 函数中自变量的取值范围。 二、“相聚”在定义域问题中 例2 若函数f(x)= 1-2x 的定义域 是集合A,函数g(x)=log2 1 x+5 的定义域是 集合B,则A∩B= 。 函数f(x)= 1-2x 的定 义域满足1-2x≥0,即2x≤1= 20。因为函数y=2x 在 R上单调递增,所以 x≤0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0], 即A=(-∞,0]。 函数g(x)=log2 1 x+5 的定义域满足 1 x+5>0 ,解得x>-5,所以函数g(x)的定 义域为(-5,+∞),即B=(-5,+∞)。 故A∩B=(-5,0]。 评注:若二次根式有意义,则被开放数应 为非负数;若对数有意义,则真数应大于0。 三、“相聚”在值域问题中