对数函数单调性中的常见错解剖析&分析错因加强防范-《中学生数理化》高一数学2023年11月刊

■张志远 函数的单调性是函数的重要性质。函数 的单调性问题综合性强,难度大,稍有疏忽就 可能出现错误,下面就对数函数的单调性中 的常见错解进行举例剖析。 一、求单调区间忽视函数的定义域 例1 求函数f(x)=log1 2 (-x2+2x+ 1)的单调区间。 错解:设y=g(u)=log1 2 u,u=-x2+ 2x+1=-(x-1)2+2。因为u=-(x-1)2 +2在区间(-∞,1]上为增函数,在区间(1, +∞)上为减函数,又y=g(u)=log1 2 u 在定 义域内是减函数,所以由复合函数单调性知, 函数f(x)=log1 2 (-x2+2x+1)的单调递 减区间是(-∞,1],单 调 递 增 区 间 是(1, +∞)。 错解剖析:错解中忽视了函数f(x)的定 义域,因为单调区间是定义域的子集,在解函 数问题时,一定要树立“定义域优先”的意识。 正解:由-x2+2x+1>0,可得函数 f(x)的定义域为(1- 2,1+ 2)。设y= g(u)=log1 2 u,u=-x2+2x+1=-(x- 1)2+2。因为u=-(x-1)2+2在区间(1- 2,1]上为增函数,在区间(1,1+ 2)上为减 函数,又y=g(u)=log1 2 u 在定义域内是减 函数,所以由复合函数单调性知,函数f(x) =log1 2 (-x2+2x+1)的单调递减区间是 (1- 2,1],单调递增区间是(1,1+ 2)。 二、求单调区间忽视对底数的分类讨论 例2 求函数f(x)=loga(x2-2x-3) 的单调区间。 错解:由x2-2x-3>0,可得函数f(x) 的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞)。令u= x2-2x-3,则y=g(u)=logau。因为u= x2-2x-3=(x-1)2-4在区间(-∞,-1) 上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,所 以函数f(x)的单调递减区间是(-∞,-1), 单调递增区间是(3,+∞)。 错解剖析:上述错解没有注意到底数对 单调性的影响,当底数不确定时,要对底数分 情况进行讨论。 正解:由x2-2x-3>0,可得函数f(x) 的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞)。令u= x2-2x-3,则y=g(u)=logau。函数u= x2-2x-3=(x-1)2-4在区间(-∞,-1) 上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增。 当0<a<1时,函数g(u)=logau 在定义域 内为减函数,当a>1时,函数g(u)=logau 在定义域内为增函数。故当0<a<1时, f(x)=loga(x2-2x-3)的单调增区间是 (-∞,-1),单调减区间是(3,+∞);当a> 1时,f(x)=loga(x2-2x-3)的单调减区间 是(-∞,-1),单调增区间是(3,+∞)。 已知函数f(x)=log1 2 (x2-ax+a)在 区间(-∞,2)上是增函数,求实数a 的取 值范围。 提示:设h(x)=x2-ax+a,则函数y= log1 2 h(x)。因为y=log1 2 h(x)在定义域内 是减函数,所以要使f(x)=log1 2 (x2-ax+ a)在 区 间 (- ∞,2)上 是 增 函 数,只 需 h(x)=x2-ax+a在区间(-∞,2)上是减 函数且h(x)=x2-ax+a 在区间(-∞, 2)上恒正,所以 a 2≥ 2 且h(2)≥0,解得 22≤a≤2(2+1),即所求实数a∈[22, 22+2]。 作者单位:河北承德双滦区实验中学 (责任编辑 郭正华) 43 易错题归类剖析 高一数学 2023年11月 ■蒙春凤 指数函数与对数函数是重要的基本初等 函数,指数函数与对数函数的图像与性质容 易混淆,因此,解题时稍有不慎就会出错。下 面就此类问题,举例分析错因,加强防范意 识。 一、忽视a 1 n 成立的条件 例 1 化 简:(1-a)[(a-1)-2 · (-a) 1 2] 1 2。 错解:原 式 =(1-a)(a-1) -2×12 · (-a) 1 2× 1 2=(1-a)(a-1)-1(-a) 1 4 = -(-a) 1 4。 错因分析:上述解法忽视了(-a) 1 2 成立 的条件。若(-a) 1 2成立,则-a≥0,所以a≤ 0,所以[(a-1)-2] 1 2=(1-a)-1。 防范措施:化简指数式时,应讨论其中字 母的取值范围,通常根据指数幂的指数来讨 论,也可以化为根式,利用偶次方根的被开方 数为非负数,奇次方根的被开方数是任意实 数求出其中字母的取值范围。如(am)n= amn,当a>0时,(am)n=amn 成立;当a<0,m 为偶数时,(am)n= (-a)m n=(-a)mn。 正解:由(-a