2023年高考函数的奇偶性，单调性，周期性问题聚焦-《中学生数理化》高一数学2023年11月刊

2023年高考对函数性质的考查,主要围 绕“以常见函数为载体考查函数的奇偶性、单 调性,与不等式、方程等结合考查函数的单调 性、奇偶性、周期性”,凸显直观想象、逻辑推 理、分类讨论思想、数形结合思想的应用及数 学运算的核心素养。 聚焦一:函数奇偶性的应用 例1 (2023年高考全国卷)已知f(x) = xex eax-1 是偶函数,则a=( )。 A.-2 B.-1 C.1 D.2 (方法1)因为f(x)是偶函 数,且f(1)-f(-1)= e ea-1 - -e-1 e-a-1 = e-ea-1 ea-1 =0,所以e-ea-1=0,即a- 1=1,所以a=2。应选D。 (方法2)因 为 f(x)是 偶 函 数,所 以 f(x)-f(-x)= xex eax-1 - -xe-x e-ax-1 = xex eax-1 + xe(a-1)x 1-eax = xex-xe(a-1)x eax-1 =0,所 以 xex - xe(a-1)x=0,所以a-1=1,即a=2。应选D。 体验:利 用 奇 函 数 满 足 f(-x)= -f(x)或偶函数满足f(-x)=f(x)是解 题的关键。要注意的是:若能确定奇函数的 定义域中包含0,则直接根据f(0)=0,求出 参数的值。 变 式 1: 若 函 数 f (x ) = a2x-1,x<0, x+a,x>0, 0,x=0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 为奇函数,则参数a 的值为 。 提 示: 因 为 函 数 f (x ) = a2x-1,x<0, x+a,x>0, 0,x=0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 为奇函数,所以 f(-1)= -f(1),所以-a2-1=-(a+1),即a(a- 1)=0,可得a=0或a=1。当a=0时, f(x)= -1,x<0, 0,x=0, x,x>0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 不是奇函数,即a=0不 合题意;当a=1时,f(x)= x-1,x<0, 0,x=0, x+1,x>0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 是 奇函数,适合题意。综上可得,a=1。 聚焦二:函数周期性的应用 例2 (2023年新高考卷)若函数f(x) 的定义域为 R,且f(x+y)+f(x-y)= f(x)f(y),f(1)=1,则∑ 22 k=1 f(k)=( )。 A.-3 B.-2 C.0 D.1 由f(x+y)+f(x-y)= f(x)f(y),令x=1,y=0,可得 2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2。令x= 0,可得f(y)+f(-y)=2f(y),即f(y)= f(-y),所以函数f(x)为偶函数。令y= 1,可得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)= f(x),即f(x+2)+f(x)=f(x+1),从而 可得f(x+2)=-f(x-1),所以f(x-1) =-f(x-4),所以f(x+2)=f(x-4),可 得f(x)=f(x+6),所以函数f(x)的一个 周期为6。 因为f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1, f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)= f(-2)=f(2)=-1,f(5)=f(-1)=f(1) =1,f(6)=f(0)=2,所以f(1)+f(2)+… +f(6)=0。因为22=3×6+4,所以∑ 22 k=1 f(k) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2- 1=-3。应选A。 体验:若f(x+a)=-f(x),则f(x+ 2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x), 所以周期T=2a。若f(x+a)=f(x-a), 令x-a=t,x=t+a,则f(t)=f(t+2a), 所以周期T=2a。在解决具体问题时,要注 意结论:若T 是函数的周期,则kT(k∈Z且 k≠0)也是函数的周期。 变式2:已知f(x)是定义域为(-∞, 04 创新题追根溯源 高一数学 2023年11月 +∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x)。 若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+ f(50)= 。 提示:因 为 f(x)是 定 义 域 为(-∞, +∞)的奇函数,且f(1-x)=f(1+x),所 以f(1+x)=-f(x-1),所以f(3+x)= -f(x+1)=f(x-1),所以f(x+4)= f(x),所以 T=4。因此 f(1)+f(2)+ f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+ f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)。因为f(3)= -f(1),f(4)=-f(2),所以f(1)+f(2)+ f(3)+f(4)=0。又因为f(2)=f(0)=0, 所以f(1)+f