立体几何中空间向量运算的易错题分析-《中学生数理化》高考数学2023年11月刊

立体几何中空间向量运算的易错题分析 ■江苏省南京市板桥中学 纪明亮 立体几何是高中数学中的重要知识点, 将立体几何与代数融合引进了空间向量。空 间向量强调几何直观和代数运算,能培养同 学们的直观想象和数学运算等核心素养。空 间向量是处理立体几何问题的重要工具,但 运用空间向量解题时还存在误区。下面笔者 分析几类空间向量运算中的易错题,相信这 对同学们更具有实战价值,具体过程如下。 易错点一、坐标系建立错误 例 1 (宁波市2023年高三模拟试题) 图1 如图1,在四棱锥P-ABC 中,平 面PAB⊥平面ABC,平面PAC ⊥平面ABC,PA=AC=2AB= 2,BC= 5,求锐二面角P-BC-A 的余弦值。 错解:因为 AC=2AB=2, BC= 5,所 以 AC2+AB2=BC2=5,则 ∠BAC= π 2 ,所 以 AB⊥AC。因 为 平 面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 ABC, 所以PA⊥AB,PA⊥AC,所以以{AC→,AB→, AP→}为正交基底建立空间直角坐标系 A- xyz。 错因分析:建立空间直角坐标系需找到 过同一点的三条直线,且两两垂直。该情况 等价与两条相交直线互相垂直,第三条直线 过垂足且与这两条直线所在平面垂直。上述 解法由平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥ 平面ABC,不能直接得到 PA⊥AB,PA⊥ AC。 正解:因为 AC=2AB=2,BC= 5,所 以AC2+AB2=BC2=5,则∠BAC= π 2 ,所 以AB⊥AC。如图2,在平面 ABC 中取点 D,并过点D 作DE⊥AB,DF⊥AC,因为平 面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC =AB,DE⊂平 面 ABC,所 以 DE⊥平 面 PAB。因为 PA⊂平面 PAB,所以 DE⊥ PA。同理DF⊥PA。因为 DE∩DF=D, 图2 DE,DF⊂平面ABC,所以PA ⊥平面ABC。 以{AC→,AB→,AP→}为正交 基底建立空间直角坐标系 A- xyz,则B(0,1,0),C(2,0,0), P(0,0,2),所以BC→=(2,-1, 0),BP→=(0,-1,2)。 设平面PBC 的法向量为n=(x,y,z), 则 BC→·n=2x-y=0, BP→·n=-y+2z=0, 令x=1,得y=2, z=1,所以n=(1,2,1)。 因为平面 ABC 的一个法向量为AP→= (0,0,2),设锐二面角 P-BC-A 的平面角为 θ,则cos θ=|cos<AP→,n>|= 2 6×2 = 6 6 。 易错点二、错把向量坐标当作点坐标 图3 例 2 (扬州市2023届 高三考前调研测试题)如图3 所 示,平 行 六 面 体 ABCD- A1B1C1D1 的体积为6,截面 ACC1A1 的面积为6。若 AB =AD=2,∠BAD= π 3 ,AA1 = 6,点B 到平面ACC1A1 的距离为1,求直 线BD1 与平面CC1D1D 所成角的正弦值。 错解:在▱ABCD 中,因为 AB=AD= 2,所以▱ABCD 是菱形,则AC⊥BD。 连接 AC,BD,交于点 O,因为∠BAD= π 3 ,所以 ∠BAO= π 6 ,则AO= 3,BO=1。 因为点B 到平面ACC1A1 的距离为1,所以OB⊥平面 ACC1A1,则OB⊥OA1。 设点A1 在AC 上的 射影为 H,则S▱ACC1A1=A1H·AC=23· A1H=6,则A1H= 3。在Rt△AA1H 中, AH= AA21-A1H2= 3,则AO=AH,即 点O 与点H 重合,所以A1O⊥AC。 以{OA→,OB→,OA1→}为正交基底建立空间 92 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年11月 图4 直角坐标系 O-xyz,如图4 所示,则 A(3,0,0),B(0, 1,0),D(0,-1,0),A1(0,0, 3),所 以 AA1→ =DD1→ = (- 3,0,3),AB→ =DC→ = (- 3,1,0),则D1(- 3,0, 3),BD1→=(- 3,-1,3)。 设平面CC1D1D 的法向量为n=(x,y, z),则 DD1→·n=- 3x+ 3z=0, DC→·n=- 3x+y=0, 令 x= 1,得y= 3,z=1,所以n=(1,3,1)。 设直线BD1 与平面CC1D1D 所成角为 θ,则 sin θ = |cos <BD1→,n>| = - 3- 3+ 3 7× 5 = 105 35 。 错因分析:上述解法在由 BD1→=BD→+ DD1→,DD1→=AA1→ 求BD1→ 时,把AA1→ 的坐标 当作点D1 的坐标,导致错误。在求某向量 的坐标时,若该向量一端点的坐标不易求出, 则