一例三法解决圆锥曲线中的定点定值问题-《中学生数理化》高二数学2023年11月刊

一例三法解决圆锥曲线中的定点定值问题 ■江苏省盐城市时杨中学 徐粉芹 解析几何中定点与定值问题是高考的一 个热点,也是一个难点,这两类问题对同学们 的逻辑思维和计算能力要求较高。本文将介 绍一例三法解决圆锥曲线中的定点定值问 题,以期对大家的学习有所帮助。 图1 例题 如 图1, 已知椭圆C: x2 a2 +y2 =1上顶点为 A,右 焦点为 F,直线 AF 与圆 M:x2 +y2 - 6x-2y+7=0相切, 其中a>1。 (1)求椭圆C 的方程。 (2)不过点A 的动直线l与椭圆C 相交 于P,Q 两点,且AP⊥AQ,证明动直线l过 定点,并且求出该定点的坐标。 解析:(方法1,韦达定理法) (1)由题意可知,A(0,1),F(c,0),则直 线AF 的方程为 x c+y=1 ,即x+cy-c=0。 因为直线 AF 与圆 M:x2+y2-6x- 2y+7=0相切,该圆的圆心为(3,1),r= 3, 所以 3= 3 1+c2 ⇒c2=2,故椭圆C 的标准 方程为 x2 3+y 2=1。 (2)由A(0,1)可设直线AP 的方程为y= kx+1,则直线AQ 的方程为y=- 1 kx+1 。 联立 x2 3+y 2=1, y=kx+1, ,消去y 并整理得(1+ 3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x=- 6k 1+3k2 。 因此,点P的坐标为 - 6k 1+3k2 ,1-3k 2 1+3k2 。 将上式中的k换成- 1 k ,得点Q 6k 3+k2 ,k 2-3 3+k2 。 所以直线l的斜率为 k2-3 3+k2 - 1-3k2 1+3k2 6k 3+k2 + 6k 1+3k2 = k2-1 4k ,即 直 线 l 的 方 程 为 y= k2-1 4k · x- 6k 3+k2 +k 2-3 3+k2 ,化 简 并 整 理 得 y= k2-1 4k x- 1 2 。 故直线l恒过定点 0,- 1 2 。 传统方法即韦达定理法,在地位上不可忽 视,它是所有圆锥曲线计算的核心,但随着题目 难度逐年递增,这种传统方法的弊端也一步步 显现:(1)计算量过大,得分点稳定且不易提分; (2)化简部分技巧性较强,不利于同学们深度思 考;(3)无法体现数学的对称美。 (方法2,齐次化构造法) (1)由题意可知,A(0,1),F(c,0),则直 线AF 的方程为 x c+y=1 ,即x+cy-c=0。 因为直线 AF 与圆 M:x2+y2-6x- 2y+7=0相切,该圆的圆心为(3,1),r= 3, 所以 3= 3 1+c2 ⇒c2=2,故椭圆C 的标准 方程为 x2 3+y 2=1。 (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),直线 PQ 的方程为mx+n(y-1)=1,则椭圆方程变 形为 x2 3+ [(y-1)+1]2=1,即3(y-1)2+ 6(y-1)+x2=0。 联立直线方程与椭圆方程,整理可得 (3+6n)y-1x 2 +6m y-1x +1=0。 因为A(0,1),kAP·kAQ=-1⇒ y1-1 x1 · y2-1 x2 =-1,所以 y1-1 x1 ·y2-1 x2 = 1 3+6n= -1,解得n=- 2 3 ,即mx- 2 3 (y-1)=1。 令x=0,解得y=- 1 2 ,故直线l恒过定 点 0,- 1 2 。 71 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年11月 新方法采用齐次化构造形式,巧妙构造 齐次化方程,间接联立椭圆与直线方程,从而 达到简化运算过程的目的,且具有较强的公 式性,方便同学们掌握与记忆。直线方程的 假设,mx+n(y-1)=1,一是联立后便于齐 次化,二是根据AP、AQ 的斜率形式。 (方法3,对称化构造法) (1)由题意可知,A(0,1),F(c,0),则直 线AF 的方程为 x c+y=1 ,即x+cy-c=0。 因为直线 AF 与圆 M:x2+y2-6x- 2y+7=0相切,该圆的圆心为(3,1),r= 3, 所以 3= 3 1+c2 ⇒c2=2,故椭圆C 的标准 方程为 x2 3+y 2=1。 (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),因为P,Q 都在椭圆上,所以满足x 2 1 3+y 2 1= x22 3+y 2 2⇒ -1 3 · x1+x2 y1+y2 = y2-y1 x2-x1 。 已知A(0,1),kAP·kAQ=-1⇒ y1-1 x1 · y2-1 x2 =-1,由于要构造对称式,故我们分别 代换两个斜率得: - 1 3 · x1 y1+1 ·y2-1 x2 =-1, - 1 3 · x2 y2+1 ·y1-1 x1 =-1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ⇒ y2x1-3y1x2=