一道向量最值问题的解法讨论&不同视角推导椭圆标准方程-《中学生数理化》高二数学2023年11月刊

一道向量最值问题的解法讨论 ■江西省丰城中学 熊华芳 赵志平 ■江西省丰城厚一学校 吴爱龙 题目 (2023年全国乙卷理科第12题) 已知圆O 的半径为1,直线PA 与圆O 相切 于点A,直线PB 交圆O 于B、C 两点,D 为 BC 的中点。若|PO|= 2,则 PA→·PD→ 的 最大值为( )。 A. 1+ 2 2 B. 1+22 2 C.1+ 2 D.2+ 2 解法一:如图1,|OA|=1,|OP|= 2。 由勾股定理得|PA|= |OP|2-|OA|2 = 1。以P 点为坐标原点,PA 所在直线为x 轴 建立平面直角坐标系xPy,得到圆O 的标准 方程为(x-1)2+(y-1)2=1。 图1 设直线PB 的方程为y=kx,k>0。 代入圆的方程,整理得: (1+k2)x2-2(1+k)x+1=0。 设B,C 两点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),D 点坐标为(x0,y0),则: x1+x2= 2(1+k) 1+k2 。 因此,x0= x1+x2 2 = 1+k 1+k2 ,y0=kx0= k+k2 1+k2 。 则D 点的坐标为 1+k 1+k2 ,k+k 2 1+k2 。 又P(0,0),A(1,0),所以 PA→·PD→= (1,0)· 1+k 1+k2 ,k+k 2 1+k2 =1+k1+k2= 11+k2 1+k 。 令t=1+k,则t>1。 故 PA→ · PD→ = 1 1+(t-1)2 t = 1 t+ 2 t -2 ≤ 1 22-2 = 2+1 2 。 当且仅当t= 2∈(1,+∞)时取等号。 此时,PA→·PD→ 的最大值为 2+12 ,选 A。 解法二:如图1所示,建立平面直角坐标 系。 设 直 线 PB 的 参 数 方 程 为 x=tcos α, y=tsin α, 其中0<α<π2,t为参数。 将其代入圆 O 的方程(x-1)2+(y- 1)2=1,整理得: t2-2t(cos α+sin α)+1=0。 设点B,C,D 对应的参数为t1,t2,t0, 则: t0= t1+t2 2 =cos α+sin α。 所以 PA→ ·PD→ =|PA→|·|PD→|· cos∠APD =1·t0·cos α =(cos α+sin α)·cos α =cos2α+cos αsin α = 1+cos 2α 2 + sin 2α 2 = 2 2sin2α+ π 4 +12≤ 2+12 ,当且仅 当2α+ π 4= π 2 ,即α= π 8 时,取等号。故选 A。 (责任编辑 徐利杰) 42 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年11月 不同视角推导椭圆标准方程 ■成都经济技术开发区实验中学校 杜海洋 在学习椭圆及其标准方程时,其中涉及 对椭圆方程进行化简,课本上呈现出同学们 易懂的通性通法(去根号化简),但过程运算 量较大,是否还会有其他路径化简呢? 本文 就通过不同视角推导其标准方程,以飨读者! 1.根据定义推导椭圆标准方程 图1 如图1,取过焦 点F1,F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的 垂直平分线为y 轴, 设P(x,y)为椭圆上 的任意一点,椭圆的 焦距 是2c(c>0)。 则 F1 (-c,0), F2(c,0)。 设P 与F1,F2 距离之和等于2a(2a> 2c)(常数),则 P={P||PF1|+|PF2|= 2a}。 又因为|PF1|= (x+c)2+y2,|PF2| = (x-c)2+y2,所 以 (x+c)2+y2 + (x-c)2+y2=2a。 下面对此等式进行化简。 解法1:课本方法(两次平方去根号) 将 (x+c)2+y2 + (x-c)2+y2 = 2a 移 项,得 (x+c)2+y2 = 2a - (x-c)2+y2。 两边 平 方,得 (x+c)2+y2=4a2- 4a (x-c)2+y2+(x-c)2+y2。 整理得,a2-cx=a (x-c)2+y2。两 边平方得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+ a2c2+a2y2,化简得 (a2-c2)x2+a2y2= a2(a2-c2)。由定义知2a>2c,即a2-c2> 0。令 a2-c2=b2,代 入 得b2x2+a2y2= a2b2,两边同除a2b2,得 x2 a2 +y 2 b2 =1,即为椭 圆的标准方程。它表示焦点在x 轴上,焦点 是F1(-c,0),F2(c,0),中心在坐标原点的 椭圆,方程中a2=c2+b2。 解法2:(直接平方+平方差公式) 由 (x+c)2+y2 + (x-c)2+y2 = 2a,两边直接平方得: ( (x+