七法破解椭圆离心率的取值范围问题-《中学生数理化》高二数学2023年11月刊

七法破解椭圆离心率的取值范围问题 ■贵州省仁怀市周林高中 孔祥庆 椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度, 是椭圆的一个重要的几何特征。求离心率的 范围是比较棘手的问题,本文就此类问题提 出七种求解策略,供同学们参考。 一、由题设直接得a,b,c的齐次不等关 系 例 1 过椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b> 0)的左顶点A 作斜率为k的直线l,直线l与 椭圆C 的另一个交点B 在x 轴上的射影为 椭圆C 的左焦点F。若 3 2≤k≤ 5 3 ,则椭圆C 的离心率e的取值范围是 。 解析:设F(-c,0),B(-c,y),将x= -c代入 x2 a2 +y 2 b2 =1,得 (-c)2 a2 +y 2 b2 =1。又 y>0,则y= b2 a ,即 B -c, b2 a 。从而k= b2 a(a-c)= a2-c2 a(a-c)= a+c a =1+e 。由3 2≤ k≤ 5 3 ,解得1 2≤e≤ 2 3 。 评注:此类题型中不等关系很明显,一般 先将不等关系中的参变量用a,b,c表示,得 到齐次不等式再解之,应注意b2=a2-c2 的 转换及0<e<1的范围限制。 二、利用平面几何知识 例 2 已知F1,F2 是椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的两个焦点,若满足 MF1⊥ MF2 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率e 的取值范围是 。 解析:因为 MF1⊥MF2,所以点 M 在以 F1F2 为直径的圆上。要使点 M 总在椭圆内 部,则圆的半径c<b,即c2<a2-c2,解得离 心率e的取值范围是 0, 2 2 。 评注:求解本题时将抽象的语言描述转 化为椭圆与圆的位置关系问题,得到的不等 关系使得求解过程简单明了,可见平面几何 知识可以简化复杂的计算过程。 三、利用椭圆的取值范围 例 3 已知椭圆 M:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a> b>0)与圆N:x2+y2=b2,若在椭圆 M 上存 在点P,使得由点P 所作的圆N 的两条切线 互相垂直,则椭圆 M 的离心率e的取值范围 是( )。 A.12 ,1 B. 22,32􀭠􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 C. 2 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 D. 32,1􀭠􀭡 􀪁􀪁 解析:设两切点分别为 A,B,坐标原点 为O,P(x0,y0),连接OA,OB,OP,易知四 边形OAPB 是边长为b的正方形。则|OP| = 2|OA|,即 x20+y20 = 2b,化简整理可 得y20=2b2-x20。由 x20 a2 + y20 b2 =1,得y20=b2- b2x20 a2 =2b2-x20,则x20= a2(a2-c2) c2 。由椭圆 的取值范围知0≤x20≤a2,结合0<e<1,解 得 2 2≤e<1 ,即e的取值范围是 2 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 。 故选C。 评注:本 题 是 从 坐 标 的 角 度 考 虑,先 将 x20 分离出来,再利用-a≤x0≤a 获得关于 a,c的不等关系。事实上也可以将y20 分离, 再利用-b≤y0≤b获得不等关系。 四、利用不等式的性质 例 4 已知F1,F2 是椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆上一点, 若∠F1PF2=120°,则此椭圆离心率e 的取 22 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年11月 值范围是 。 解析:由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2 +|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,即 (2c)2=(|PF1|+|PF2|)2-|PF1||PF2|。 从 而 4a2 - 4c2 = |PF1||PF2| ≤ |PF1|+|PF2| 2 2 =a2,即3a2≤4c2,得e= c2 a2 ≥ 3 2 ,当且仅当|PF1|=|PF2|=a 时, e取最小值 3 2 。 又0<e<1,故椭圆离心率e的取值范围 是 3 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 。 评注:本 题 通 过 基 本 不 等 式 的 变 形 式 “xy≤ x+y 2 2 ”获取不等关系,解此类最值 问题,应判断等号成立的条件是否满足。 五、转化为函数的值域 例 5 若椭圆C1: x2 (m+1)2 +y 2 m2 =1与 椭圆C2: x2 3m-1+ y2 n=1 有相同的焦点,求椭 圆C1 的离心率e的取值范围。 解析:由椭圆C2 的方程知,m> 1 3 。又由 椭圆C1 的方程知,椭圆C1 的焦点在x 轴上, 设椭圆C1 的焦距为2c,长轴长为2a,离心率 为e,则c2=(m+1)2-m2=2m+1。因为椭 圆C1 与椭圆C2 的焦点相同,