例析椭圆中最值求解的六种策略-《中学生数理化》高二数学2023年11月刊

例析椭圆中最值求解的六种策略 ■安徽省霍邱县第一中学 朱秀梅 椭圆在解析几何中占有重要的地位,它 是同学们学习的重点、难点,也是高考的必考 内容之一。在椭圆中经常出现最值问题,它 能很好地考查同学们的数学抽象、逻辑推理、 数学运算等核心素养。解决这类问题可采用 以下几种解题策略,下面分类进行例析。 策略一、利用二次函数的性质求解 例 1 设椭圆C:x 2 a2 +y2=1(a>1), 已知点 A(0,1),点 P 为椭圆C 上的点,若 |AP|的 最 大 值 为2,则 a 的 取 值 范 围 为 ( )。 A.(1,2] B.(1,2] C.[2,2) D.(2,2] 思路分析:不妨设点P(x,y),可得出x2 = a2(1- y2 ), 因 此,| AP | = (1-a2)y2-2y+a2+1。构造函数f(y) =(1-a2)y2-2y+a2+1,问题转化为函数 f(y)在区间[-1,1]上的最大值为4。对实 数a进行分类讨论,结合二次函数的基本性 质可求得实数a的取值范围。 解析:设点P(x,y),由 x2 a2 +y2=1(a> 1),可得x2=a2(1-y2)。 |AP|= x2+(y-1)2 = a2(1-y2)+(y-1)2 = (1-a2)y2-2y+a2+1。 因为|AP|的最大值为2,所以关于y 的 二次函数f(y)=(1-a2)y2-2y+a2+1在 [-1,1]上的最大值为4。因a>1,故二次函 数f(y)的图像开口向下。 ①当 1 1-a2 ≤-1时,即当1<a≤ 2时, 函数f(y)在[-1,1]上单调递减,则f(y)max =f(-1)=4,合乎题意。 ②当-1< 1 1-a2 <0时,即当a> 2时, 函数 f(y)max=f 1 1-a2 = (1-a2)· 1 1-a2 2 - 2 1-a2 +a2+1=a2+1+ 1 a2-1 = 4,解得a= 2(舍去)。 综上所述,1<a≤ 2。故选A。 策略二、利用均值不等式求最值 例 2 已知椭圆C:x 2 4+ y2 3=1 ,过点 F(1,0)的直线与椭圆C 相交于A,B 两点, 线段AB 的中点为M,则点 M 的纵坐标的最 大值为 。 思路分析:当直线的斜率为0时,可得线 段AB 的中点M 的纵坐标为0。当直线的斜 率不为0时,设过F(1,0)的直线为x=ty+ 1,然后将直线方程与椭圆方程联立,消去x, 利用根与系数的关系可得yM=- 3t 3t2+4 ,显 然当t<0时,yM>0,再利用基本不等式求解 即可。 解析:当直线的斜率为0时,直线为y= 0,线段AB 的中点M 的纵坐标为0。 当直线的斜率不为0时,设过F(1,0)的 直线为x=ty+1,设A(x1,y1),B(x2,y2)。 由 x=ty+1, x2 4+ y2 3=1 , 得(3t2+4)y2+6ty-9=0。 则y1+y2=- 6t 3t2+4 。 所以线段AB 的中点M 的纵坐标yM= - 3t 3t2+4 。 当t=0时,M 的纵坐标为0。 当 t < 0 时,yM = - 3t 3t2+4 = 3 (-3t)+ - 4 t ≤ 3 2 (-3t)· - 4 t = 82 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年11月 3 43 = 3 4 ,当 且 仅 当-3t= - 4 t ,即t= - 23 3 时取等号,此时yM 的最大值为 3 4 。 当t>0时,yM<0。 综上,yM 的最大值为 3 4 。 策略三、利用换元思想求解 例 3 设点P(x1,y1)在椭圆 x2 8+ y2 2 =1上,点 Q(x2,y2)在直线x+2y-8=0 上,则3|x2-x1|+6|y2-y1|的最小值为 。 思路分析:对椭圆进行三角换元,进而代 入所求式子,再利用放缩法进行化简,最后通 过辅助角公式结合三角函数的性质得到答案。 解析:由题意,设 x1=22cos α, y1=2sin α, α∈[0,2π)。 则3|x2-x1|+6|y2-y1| =3|x2-22cos α|+6|y2- 2sin α| =3(|x2-22cos α|+2|y2-2sin α|) ≥3|x2+2y2-22(cos α+sin α)| =3|8-4sin(α+ π 4 )|≥3|8-4|=12, 当且仅当α= π 4 时取等号。故3|x2-x1|+ 6|y2-y1|的最小值为12。 策略四、利用转化思想求解 例 4 已知椭圆C 的焦点分别为F1、 F2,|F1F2|=2,若椭圆C 上存在点M,使得 ∠F1MF2=90°,则椭圆C 短轴长的最大值 是 。 思路分析:设椭圆C 的焦点在x 轴上, 可得出椭圆