例说解析几何中的经典解法-《中学生数理化》高二数学2023年11月刊

例说解析几何中的经典解法 ■河南省南阳市一中 王喜朝 解析几何是考查“数学运算,逻辑思维, 数学建模”等数学素养的绝佳载体,是对同学 们的数学思维、科学思维影响最大的一个模 块。解析几何是“多思考少计算的最佳代 表”,研究解析几何中的经典解法很有意义, 用一句话来概括就是:几何优先,代数为本, 优化算法,熟记结论。下面笔者结合实例来 说明,以期能够抛砖引玉。 一、巧用图形性质捕捉几何解法 解析几何是数形结合的典范,不同的题 型侧重点有所不同,由于几何解法不易严谨 地表达出来,故几何解法更多地在填空、选择 题中体现。很多圆锥曲线题如果能够找到几 何解法,就会比代数解法简便。 例 1 (2022年新高考Ⅰ卷第16题) 已知椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0),椭圆C 的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为 1 2 。过F1 且垂直于AF2 的直线与椭圆C 交 于D,E 两点,|DE|=6,则△ADE 的周长是 。 解析:椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的 离心率为 1 2 ,我们不妨假设椭圆C: x2 4c2 +y 2 3c2 =1,a=2c。 如图1,因为椭圆C 的上顶点为A,两个 焦点为F1,F2,所以△AF1F2 为等边三角形。 图1 因过F1 且垂直于AF2 的直线与椭圆C 交于D,E 两点,故kDE=tan 30°= 3 3 。 由等腰 三 角 形 的 性 质 可 得,|AD|= |DF2|,|AE|=|EF2|。 设直线 DE 的方程为y= 3 3 (x+c), D(x1,y1),E(x2,y2)。 将直线方程与椭圆方程联立,化简可得 13x2+8cx-32c2=0。 由韦达定理可得,x1+x2=- 8c 13 ,x1x2 =- 32c2 13 。 因此,|DE|= k2+1|x1-x2|= k2+1 (x1+x2)2-4x1x2 = 1 3+1 · - 8c 13 2 + 128c2 13 = 48 13c=6 ,解得 c= 13 8 。 △ADE 的周长等于|DE|+|DF2|+ |EF2|=4a=8c=8× 13 8=13 。 点评:利 用 等 腰 三 角 形 三 线 合 一,得 出 △ADE≅△F2DE,进而用椭圆定义求周长, 避免了直接计算三边长的烦琐计算。 二、厘清图形生成过程,找到解题思路 解析几何的基本思想是用代数解析方法 解决几何问题,因此解析法是处理解析几何 问题的根本方法。通过厘清图形的生成过 程,依据正确的画图顺序来顺藤摸瓜,是找到 解析几何解题思路的一种常用方法。 例 2 (2016年天津卷)设椭圆x 2 a2 +y 2 3 =1(a> 3)的右焦点为F,右顶点为A。已 知 1 |OF|+ 1 |OA|= 3e |FA| ,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率。 (1)求椭圆的方程。 8 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2023年11月 (2)如图2,设过点A 的直线l与椭圆交 于点B(B 不在x 轴上),垂直于l的直线与l 交于点M,与y 轴交于点H。若BF⊥HF, 且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取 值范围。 图2 分析:本题(2)中,命题人不仅未提供图 形,还故意打乱了图形的生成过程,大大增加 了思维难度。我们经过认真梳理,发现应该 是这样的作图顺序:设过点A 的直线l与椭 圆交于点B(B 不在x 轴上),连接BF,过F 作FH⊥BF 交y 轴于 H,过 H 作 HM⊥l 于M。这样,由B 点坐标求出直线BF 的方 程,进而求出FH 的方程,得到 H 点坐标,从 而得到 HM 的方程,最终解出 M 点坐标。 再化简条件:∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤ |MO|,即xM≥1。解题思路是先联立方程组 求B,再根据 BF⊥HF 求出 H,然后求出 xM,代入xM≥1解出取值范围。 解:(1)设 F(c,0),由 1 |OF|+ 1 |OA|= 3e |FA| ,即1 c+ 1 a= 3c a(a-c) ,可得a2-c2= 3c2。又a2-c2=b2=3,所以c2=1,a2=4, 椭圆的方程为 x2 4+ y2 3=1 。 (2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线 l的方程为y=k(x-2)。设B(xB,yB),由 方程组 x2 4+ y2 3=1 , y=k(x-2), 消去y,整理得(4k2+ 3)x2-16k2x+16k2-12=0。 解得x=2或 x= 8k2-6 4k2+3 。由题意得 xB= 8k2-6 4k2+3 ,从而yB= -12k 4k2+3 。 由(1)知,F(1,0),设 H(0,yH),有FH→ =(-1,yH),BF→= 9-4k2 4k2+3 ,12k 4