聚焦圆锥曲线的离心率问题-《中学生数理化》高二数学2023年11月刊

聚焦圆锥曲线的离心率问题 ■广东省汕头市澄海凤翔中学 徐春生 一、由定义求离心率 例 1 设F1、F2 分别是椭圆C: x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点,M 为直线y =2b上的一点,△F1MF2 是等边三角形,则 椭圆C 的离心率为( )。 A. 7 14 B. 7 7 C. 27 7 D. 37 14 解析:因为△F1MF2 是等边三角形,M 为直线y=2b 上的一点,所以 M(0,2b), |MF1|=|F1F2|,即 4b2+c2=2c,4b2=3c2。 因为b2=a2-c2,所以4a2=7c2,即a= 7 2c 。 所以椭圆C的离心率e= c a= 27 7 ,选C。 例 2 设F1、F2 分别为双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在 一点P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|· |PF2|= 9 4ab ,则该双曲线的离心率为 。 解析:不妨设 P 为双曲线右支上一点, |PF1|=r1,|PF2|=r2。根据双曲线的定 义,得r1-r2=2a。 因为r1+r2=3b,所以r1= 3b+2a 2 ,r2= 3b-2a 2 。 又因 为 r1r2 = 9 4ab ,所 以3b+2a 2 × 3b-2a 2 = 9 4ab ,解得b a= 4 3 或 b a=- 1 3 (舍去)。 所 以 该 双 曲 线 的 离 心 率 e= c a = a2+b2 a2 = ba 2 +1= 43 2 +1= 5 3 。 点评:根 据 椭 圆 或 双 曲 线 的 定 义,求 出 a,c或列出关于a,c 的等式,得到关于e 的 方程,进行求解。 二、由几何性质求离心率 例 3 设 F1、F2 分别 为 双 曲 线 C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是 双曲线C 上一点。若|PF1|+|PF2|=6a, 且△PF1F2 的最小内角为30°,则双曲线C 的离心率为 。 解析:根据双曲线的对称性,不妨设点P 在第一象限,则 |PF1|+|PF2|=6a, |PF1|-|PF2|=2a, 解得 |PF1|=4a |PF2|=2a 。 又因为|F1F2|=2c,所以△PF1F2 中 |PF2|最小,故∠PF1F2=30°。 在△PF1F2 中,由余弦定理得 16a2+4c2-4a2 2×4a×2c =cos 30°,即23ac=3a2+c2。 等式两边同除以a2,得e2-23e+3= 0,解得e= 3,故双曲线C 的离心率为 3。 例 4 设F1、F2 分别是椭圆C: x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点,点P 在椭圆C 上,若线段PF1 的中点在y轴上,∠PF1F2= 30°,则椭圆C的离心率为( )。 A. 3 3 B. 3 6 C. 1 3 D. 1 6 图1 解析:如 图 1,设 PF1 的中点为 M,连接 PF2。因为 O 为F1F2 的 中 点,所 以 OM∥ PF2, ∠PF2F1 = ∠MOF1=90°。 因 为 ∠PF1F2 = 30°,所 以|PF1|=2|PF2|,|F1F2|= 3|PF2|。 由椭圆的定义得2a=|PF1|+|PF2|= 3|PF2|,所以a= 3|PF2| 2 ,2c=|F1F2|= 62 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年11月 3|PF2|,即c= 3|PF2| 2 。故椭圆C 的离 心率e= c a= 3|PF2| 2 × 2 3|PF2| = 3 3 ,选A。 点评:涉及焦点三角形的题目往往利用 圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余 弦定理、三角形面积公式等来求得e的值。 三、由齐次方程求离心率 例 5 已知椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a> b>0),A,B 分别为椭圆C 的左顶点和上顶 点,F 为右焦点,且AB⊥BF,则椭圆C 的离 心率为 。 解析:在△ABF 中,|AB|= a2+b2, |BF|=a,|AF|=a+c。 由 AB ⊥BF,得|AB|2+|BF|2 = |AF|2。将b2=a2-c2 代入,得a2-ac-c2 =0,即e2+e-1=0,解得e= -1± 5 2 。 因为0<e<1,所以e= 5-1 2 。 例 6 双曲线Ε:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0), 若矩形ABCD 的四个顶点在双曲线E 上,AB, CD 的中点为双曲线E 的两个焦点,且2|AB| =3|BC|,则双曲线E 的离心率是 。 图2 解析:如图2,由题意知 |AB|= 2b2 a ,|BC|=2c。 又 因 为 2|AB|= 3|BC