2023年全国新课标Ⅱ卷第21题解法赏析、溯源及推广-《中学生数理化》高二数学2023年11月刊

2023年全国新课标Ⅱ卷第21题解法赏析、溯源及推广 ■安徽省安庆市洪汪宝名师工作室 洪汪宝 一、试题呈现 双曲线C 的中心为坐标原点,左焦点为 (-25,0),离心率为 5。 (1)求双曲线C 的方程。 (2)记双曲线C 的左、右顶点分别为A1、 A2,过点(-4,0)的直线与双曲线C 的左支 交于M、N 两点,M 在第二象限,直线 MA1 与NA2 交于P,证明:P 在定直线上。 本题是2023年全国新课标Ⅱ卷第21 题,主要考查双曲线的几何性质、双曲线的标 准方程、直线与双曲线的位置关系等几个知 识点。(1)小题是常见的方程问题,可以直接 利用待定系数法即可求出双曲线的标准方 程,大部分同学都可以得分;(2)小题是一道 定直线问题,也是本题的难点所在,计算量稍 大,还带有一定的技巧性,对同学们的运算求 解能力和逻辑推理能力要求较高,体现了基 础性、综合性、创新性、应用性的考查要求。 二、解法赏析 1.(1)小题的求解过程 设双曲线C 的方程为 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0, b>0),由焦点坐标可知c=25。 由e= c a= 5 ,可得a=2,b= c2-a2 =4,双曲线C 的方程为 x2 4- y2 16=1 。 2.(2)小题的解法赏析 解法1:由(1)可得 A1(-2,0),A2(2, 0),设 M(x1,y1),N(x2,y2)。 显然直线 MN 的斜率不为0,设直线 MN 的方程为x=my-4,且- 1 2<m< 1 2 。 与 x2 4- y2 16=1 联立,可得: (4m2-1)y2-32my+48=0。(*) 于是 Δ=64(4m2+3)>0,y1+y2= 32m 4m2-1 ,y1y2= 48 4m2-1 。 直线 MA1 的方程为y= y1 x1+2 (x+2), 直线NA2 的方程为y= y2 x2-2 (x-2)。 联立直线 MA1 与直线 NA2 的方程,消 去y 可得: x+2 x-2= y2(x1+2) y1(x2-2) = y2(my1-2) y1(my2-6) = my1y2-2y2 my1y2-6y1 。 因为 点 M 在 第 二 象 限,所 以 y1 = 16m-4 4m2+3 4m2-1 ,y2= 16m+4 4m2+3 4m2-1 。 于是 x+2 x-2 = my1y2-2y2 my1y2-6y1 = m· 48 4m2-1 -2× 16m+4 4m2+3 4m2-1 m· 48 4m2-1 -6× 16m-4 4m2+3 4m2-1 = -8 4m2+3+16m 24 4m2+3-48m =- 1 3 。 由 x+2 x-2=- 1 3 ,可得x=-1,即xP= -1,据此可得点P 在定直线x=-1上。 解法2:前同解法1得到: x+2 x-2= y2(x1+2) y1(x2-2) = y2(my1-2) y1(my2-6) = my1y2-2(y1+y2)+2y1 my1y2-6y1 = m· 48 4m2-1 -2· 32m 4m2-1 +2y1 m× 48 4m2-1 -6y1 43 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2023年11月 = -16m 4m2-1 +2y1 48m 4m2-1 -6y1 =- 1 3 。 由 x+2 x-2=- 1 3 ,可得x=-1,即xP= -1,据此可得点P 在定直线x=-1上。 解法3:前同解法1,联立直线 MA1 与 NA2 的方程,消去y 得到: y1(x2-2)(x+2)=y2(x1+2)(x-2)。 又x1=my1-4,y2=my2-4,代入上式 整理得x= 2my1y2-6y1-2y2 3y1-y2 。 由y1+y2= 32m 4m2-1 ,y1y2= 48 4m2-1 ,知 y1+y2 y1y2 = 2m 3 ,所以2my1y2=3(y1+y2)。 整 理 得 x = 2my1y2-6y1-2y2 3y1-y2 = 3(y1+y2)-6y1-2y2 3y1-y2 =-1。 所以点P 在定直线x=-1上。 解法 4:前 同 解 法1,得 到 x1+x2= m(y1+y2)-8= 8 4m2-1 。 故x1·x2=(my1-4)(my2-4)= m2y1y2-4m(y1+y2)+16= -16(m2+1) 4m2-1 。 又 x21 4- y21 16=1 ,x 2 2 4- y22 16=1 ,所以y21= 4(x21-4),y22=4(x22-4)。 联立直线 MA1 与 NA2 的方程,消去y 可得: x+2 x-2 2 = y22(x1+2)2 y21(x2-2)2 = 4(x22-4)(x1+2)2 4(x21-4)(x2-2)2 = (x2+2)