2023年高考之椭圆考点解读-《中学生数理化》高二数学2023年11月刊

■河南省许昌市高中数学胡银伟名师工作室 胡银伟 从近年高考命题情况来看,对椭圆定义、 标准方程、几何性质的考查常以选择题、填空 题的形式出现,而直线与椭圆的位置关系主 要出现在解答题中。同学们应能够熟练从 “数”与“形”两个角度来探究椭圆的取值范 围、对称性、顶点、离心率等几何性质,且熟练 利用代数法解答直线与椭圆有关的最值、定 点、定值等问题。下面我们结合2023年高考 真题,对椭圆的考点进行解读。 考点1 对椭圆的方程及简单几何性质 的考查 例 1 (1)【2023年全国甲卷文数第7 题】设F1,F2 为椭圆C: x2 5+y 2=1的两个焦 点,点P 在椭圆C 上,若PF1→·PF2→=0,则 |PF1|·|PF2|=( )。 A.1 B.2 C.4 D.5 (2)【2023年全国新课标Ⅰ卷第5题】设 椭圆C1: x2 a2 +y2=1(a>1),C2: x2 4+y 2=1 的离心率分别为e1,e2,若e2= 3e1,则a= ( )。 A. 23 3 B.2 C.3 D.6 (3)【2023年全国甲卷理数第12题】设O 为坐标原点,F1,F2 为椭圆C: x2 9+ y2 6=1 的 两个焦点,点 P 在椭圆C 上,cos∠F1PF2= 3 5 ,则|OP|=( )。 A. 13 5 B. 30 2 C. 14 5 D. 35 2 命题意图:本例的3个题目都是考查椭 圆的方程及简单的几何性质,考查同学们逻 辑推理、直观想象及数学运算等核心素养。 解题思路:(1)方法一,根据焦点三角形 面积公式求出△PF1F2 的面积,即可求解; 方法二,可根据椭圆的定义及勾股定理进行 解答。(2)由给定的椭圆方程,结合离心率的 定义进行解答。(3)方法一,根据焦点三角形 的面积公式求出△PF1F2 的面积,可得点P 的坐标,从而得|OP|的值;方法二,先利用椭 圆的定义及余弦定理求出|PF1|·|PF2|, |PF1|2+|PF2|2 的值,再结合中线的向量 公式及数量积可得解;方法三,先利用椭圆的 定义及余弦定理求出|PF1|2+|PF2|2 的 值,再根据中线定理求解。 解析:(1)方法一:因为 PF1→·PF2→=0, 所以∠F1PF2=90°。 从 而 S△F1PF2 =b 2tan 45°=1= 1 2 × |PF1|·|PF2|,解得|PF1|·|PF2|=2。 故选B。 方法 二:因 为 PF1→ ·PF2→ =0,所 以 ∠FP1F2=90°。 由椭圆方程可知,c2=5-1=4⇒c=2。 故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=16。 又|PF1|+|PF2|=2a=25,则: |PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|= 16+2|PF1|·|PF2|=20,解得|PF1|· |PF2|=2。 故选B。 (2)由e2= 3e1,得e22=3e21,因此 4-1 4 = 3× a2-1 a2 。而a>1,所以a= 23 3 。故选A。 5 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2023年11月 (3)方法一:设∠F1PF2=2θ,0<θ< π 2 , 所以S△PF1F2=b 2tan ∠F1PF2 2 =b 2tan θ。 由cos∠F1PF2=cos 2θ= cos2θ-sin2 θ cos2 θ+sin2 θ = 1-tan2 θ 1+tan2 θ = 3 5 ,解得tan θ= 1 2 。 由椭圆方程知,a2=9,b2=6,c2=a2-b2 =3。 因此,S△PF1F2= 1 2×|F1F2|×|yP|= 1 2×23×|yP|=6× 1 2 ,解得y2P=3。 则x2P=9× 1- 3 6 =92。 因此,|OP|= x2P+y2P = 30 2 。选B。 方法二:因为|PF1|+|PF2|=2a=6 ①,且|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|· cos∠F1PF2=|F1F2|2,所 以|PF1|2 + |PF2|2- 6 5|PF1||PF2|=12 。② 联立①②,解 得|PF1||PF2|= 15 2 , |PF1|2+|PF2|2=21。 而PO→=12(PF1 →+PF2→),所以|OP|= |PO→|=12|PF1 →+PF2→|。 故|PO→| = 12 |PF1 → + PF2→| = 1 2 |PF1 →|2+2PF1→·PF2→+|PF2→|2 = 1 2 21+2× 3 5× 15 2= 30 2 。选B。 方法三:因为|PF1|+|PF2|=2a=6 ①,且|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|· cos∠F1PF2=|F1F2|