“非对称韦达定理”结构化简的妙用-《中学生数理化》高二数学2023年11月刊

“非对称韦达定理”结构化简的妙用 ■江苏省无锡市第六高级中学 陈 敏 ■江苏省无锡市青山高级中学 张启兆 “非对称韦达定理”结构是指形如 x1 x2 , 2x1-3x2, x2-3x1-mx1x2 x2-x1 等结构,这些结 构中的x1,x2 不是成对出现,它们的系数比也 不是1∶1,表达式里面的下标互换后结果也会 变化,即x1 和x2 的地位不对等, 这类问题化 简时不能直接使用韦达定理。这类“非对称韦 达定理”结构化简有讲究,下面以一道模拟试 题为例,探究这类问题的两种常用技巧。 例题 已知椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b> 0)的左、右顶点分别为A1、A2,右焦点为F, 椭圆C 的离心率为 2 2 ,且椭圆C 上的点B 到F 的距离的最大值和最小值的积为1。过 点F 的直线l1(l1 与x 轴不重合)交椭圆C 于P,Q 两点,直线A1P,A2Q 分别与过点F 且垂直x 轴的直线l2 交于 M,N 两点。 (1) 求椭圆C 的方程。 (2) 记△A1FN,△A2FM 的面积分别 为S1,S2,试探究: S1 S2 是否为定值? 若是,求 出定值;若不是,请说明理由。 解析:(1) 椭圆的方程为 x2 2+y 2=1,解 题过程略。 图1 (2)如图1,依题意 得直线l2 的方程为 x =1。设直线l1 的方程 为x=my+1,P(x1, y1),Q(x2,y2)。 由 x=my+1, x2 2+y 2=1, 得 (m2+2)y2+2my-1=0,则 y1+y2= - 2m m2+2 ,y1y2=- 1 m2+2 。 所以y1+y2=2my1y2。 A1P 的方程为y= y1 x1+ 2 (x+ 2)。 由 x=1, y= y1 x1+ 2 (x+ 2), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 yM = y1 x1+ 2 (1+ 2)。 A2Q 的方程为y= y2 x2- 2 (x- 2)。 由 x=1, y= y2 x2- 2 (x- 2), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 yN = y2 x2- 2 (1- 2)。 所以 S1 S2 = 1 2|FN||A1F| 1 2|FM||A2F| = y2 x2- 2 (1- 2)(1+ 2) y1 x1+ 2 (1+ 2)(2-1) = y2 (x1+ 2) y1(x2- 2) = y2 (my1+1+ 2) y1(my2+1- 2) = my1y2+(1+ 2)y2 my1y2+(1- 2)y1 。(*) (*)式 分 子 出 现 y1y2,y2,分 母 出 现 y1y2,y1,这样分子、分母不对称,两根系数和 用不上,如何解决呢? 方法1:和积转换法(利用y1y2 与y1+ y2 的关系,整体替换,化简整理) 既然题目要证明(*)式是定值,那么 my1y2+(1+ 2)y2 my1y2+(1- 2)y1 的分子、分母就能整 体约分,这才是解决问题的关键,所以不一定 非要全部用韦达定理解决,关键是寻求式子 之间的整体关系。式子中有两根之积,不利 02 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年11月 于约分,可以先统一到两根之和。 y1+y2=- 2m m2+2 ①,y1y2=- 1 m2+2 。② ①÷②,得y1+y2=2my1y2。 所以 S1 S2 = my1y2+(1+ 2)y2 my1y2+(1- 2)y1 = 1 2 (y1+y2)+(1+ 2)y2 1 2 (y1+y2)+(1- 2)y1 = (3+22)y2+y1 y2+(3-22)y1 =(3+22)y1 +(3+22)y2 y1+(3+22)y2 =3+22。 评注:利用韦达定理,写出两根之和与两根 之积,并将它们相除,得到y1+y2=λy1y2,利用 y1y2 与y1+y2 的关系,整体替换,积化和,巧妙 转化非对称结构,其本质是降次。 方法2:配凑半代换法 局部替换y1y2,并利用y1+y2 减少变 元(消去y2 或y1)。 my1y2+(1+ 2)y2 my1y2+(1- 2)y1 = my1y2+(1+ 2)(y1+y2-y1) my1y2+(1- 2)y1 。 把方法1中①和②代入上式得: m - 1 m2+2 +(1+ 2)- 2mm2+2-y1 m - 1 m2+2 +(1- 2)y1 = (3+22)m+(1+ 2)(m2+2)y1 m+(2-1)(m2+2)y1 =(3+22) m+ 1 2+1 (m2+2)y1 m+(2-1)(m2+2)y1 =(3+22) m+(2-1)(m2+2)y1 m+(2-1)(m2+2)y1 =3+22。 评 注: my1y2+ (1+ 2)y