“动”“静”结合，定点永存-《中学生数理化》高二数学2023年11月刊

■江苏省张家港中等专业学校 龚 瑜 韩文美 圆锥曲线中的直线或曲线的定点问题, 是圆锥曲线考题的一个重要内容,也是每年 高考数学试卷中的一个热点与难点,常考常 新,数学运算量大,逻辑推理复杂,难度往往 比较高,有比较好的选拔性与区分度,备受命 题者关注。 此类定点问题,以动点、动直线等“动”态 变化为问题场景,从“动”中寻找“静”的状态, 围绕定点加以运动与变化,命题新颖,知识交 汇性强,思想方法融合度高,解题思路变化多 端,给同学们以更多层次的思维视角与机会, 充分考查同学们的数学基础知识与数学基本 能力。 1.真题呈现 高考真题:(2023年高考数学全国乙卷 理科第20题)已知椭圆C:y 2 a2 + x2 b2 =1(a> b>0)的离心率为 5 3 ,点A(-2,0)在椭圆C 上。 (1)求椭圆C 的方程; (2)过点(-2,3)的直线交椭圆C 于P, Q 两点,直线AP,AQ 与y 轴的交点分别为 M,N,证明:线段 MN 的中点为定点。 分析:这道平面解析几何问题,设问比较 常规,虽然说是在极点、极线背景下的问题, 却没有落入套路,需要踏踏实实地进行逻辑 推理与数学运算。它考查了平面解析几何的 基本思想和基本方法,对同学们的逻辑推理 与数学运算等方面能力要求很高。 这道题目可以很好地区分学生,选拔性 强。特别涉及平面解析几何中的定点问题, 作为高考考查的一个热点,有很多好的技巧 方法和基本性质等值得探究、推广与拓展。 2.真题破解 解:(1)依题意,可得 b=2, c a= 5 3 , a2=b2+c2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解得 a=3, b=2, c= 5。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以椭圆C 的方程为y 2 9+ x2 4=1 。 (2)方法1(设线法———设而不求) 要使过点(-2,3)的直线交椭圆C 于P, Q 两点,则直线PQ 的斜率存在且小于0。 设直线PQ 的方程为y=k(x+2)+3, k<0,设P(x1,y1),Q(x2,y2)。 联立 y=kx+2k+3, y2 9+ x2 4=1 , 消去y 并整理可 得(4k2+9)x2+(16k2+24k)x+(16k2+ 48k)=0。 则Δ=(16k2+24k)2-4(4k2+9)· (16k2+48k)=-1 728k>0。 且 x1 +x2 = - 16k2+24k 4k2+9 ,x1x2 = 16k2+48k 4k2+9 。 而直线AP 的方程为y= y1 x1+2 (x+2), 03 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年11月 令x=0,可得 M 0, 2y1 x1+2 。 直线AQ 的方程为y= y2 x2+2 (x+2),令 x=0,可得N 0, 2y2 x2+2 。 所以 2y1 x1+2 + 2y2 x2+2 = 2y1(x2+2)+2y2(x1+2) (x1+2)(x2+2) = 2(kx1+2k+3)(x2+2)+2(kx2+2k+3)(x1+2) x1x2+2(x1+x2)+4 =2× 2kx1x2+(4k+3)(x1+x2)+4(2k+3) x1x2+2(x1+x2)+4 =2× 108 36=6 。 所以线段 MN 的中点为(0,3),是定点。 解后反思:设线法是解决直线与圆锥曲 线的位置关系问题中最为常用的一种方法, 借助直线斜率这一参数的引入,构建相应的 直线方程,直线与圆锥曲线方程的联立,消参 转化为方程问题,再结合韦达定理确定两交 点的坐标之间的关系式,为进一步的分析与 求解奠定基础。设线法往往可以达到设而不 求的效果,优化数学运算与逻辑推理过程,关 键是正确的数学运算与关系式变形。 方法2(设点法———优化过程) 设 M(0,m),N(0,n),B(-2,3)。 则直线AM 的方程为 x -2+ y m=1 ,整理 得x= 2 my-2 ,代入椭圆方程y 2 9+ x2 4=1 并 整理可得(m2+9)y2-18my=0。 可得yP = 18m m2+9 ,则 xP = 2 myP -2= 18-2m2 m2+9 ,即P 18-2m2 m2+9 ,18m m2+9 。 所以kBP= 18m m2+9 -3 18-2m2 m2+9 +2 = 6m-m2-9 12 。 同理可得kBQ= 6n-n2-9 12 。 由于B、P、Q 三点共线,因此 6m-m2-9 12 = 6n-n2-9 12 。 整理得(m+n)(m-n)=6(m-n)。 由于P,Q 两点不重合,即 m≠n,所以 m+n=6。 所以线段 MN 的中点为(0,3),是定点。 解后反思:设点法往往也是解决此类直 线与圆锥曲线的位置关系问题的一种常用技 巧方