重难点11空间角与探索性问题（2种考法）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）

重难点11空间角与探索性问题（2种考法） 【目录】 考法1：空间角问题 考法2：探索性问题 二、命题规律与备考策略 1.求异面直线所成的角的三步曲 2.求直线和平面所成角的关键 作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值。 3.找二面角的平面角的常用方法 （1）由定义做出二面角的平面角 （2）用三垂线定理找二面角的平面角 （3）找公垂面 （4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 4.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标； (3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角； (4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角． 5.利用向量法求两平面夹角的步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； (3)求两个法向量的夹角； (4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角) 6.探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目。一般可采用两种方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。 〖关键技巧〗空间向量适合解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、结论、推理，只需要通过坐标运算进行判断。解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，能更简单、有效地解决问题，应善于运用这一方法解题。 考法1：空间角问题 三、题型方法 一．解答题（共15小题） 1．（2023•蓬莱区三模）如图，矩形BCDE所在平面与△ABC所在平面垂直，∠ACB＝90°，BE＝2． （1）证明：DE⊥平面ACD； （2）若平面ADE与平面ABC的夹角的余弦值是，且直线AE与平面BCDE所成角的正弦值是，求异面直线DE与AB所成角的余弦值． 2．（2023•青羊区校级模拟）如图：在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAV＝90°，点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2． （1）求证：MN∥平面BDE； （2）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长． 3．（2023•盐湖区校级二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，． （1）证明：平面ACB1⊥平面BB1C1C； （2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的余弦值． 4．（2023•碑林区校级模拟）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，AB＝BC＝3，BP＝3，CF＝CP，DE＝DA． （1）证明：EF∥平面ABP； （2）求直线PC与平面ADF所成角的正弦值． 5．（2023•全国模拟）已知三棱锥ABCD，D在面ABC上的投影为O，O恰好为△ABC的外心．AC＝AB＝4，BC＝2． （1）证明：BC⊥AD； （2）E为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥ABCD的外接球表面积为20π，求二面角E﹣CO﹣B的余弦值． 6．（2023•泉州模拟）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，CA1＝4，CB1＝2，∠BAA1＝60°． （1）证明：CA＝CB； （2）若CA＝4，求二面角A1﹣CB1﹣C1的余弦值． 7．（2023•哈尔滨一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，PB⊥BC． （1）求点A到平面PBC的距离； （2）E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值． 8．（2023•天津一模）已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥DQ，PA＝AD＝3DQ＝3，点E、F分别为线段PB、CQ的中点． （1）求证：EF∥平面PADQ； （2）求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值； （3）线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 9．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，正三棱锥P﹣ABC中，PA＝AC＝6，E，F为棱PC的三等分点． （1）求异面直线AE，BF夹角的余弦值； （2）求三棱锥A﹣BEF的体积． 10．（2023•江苏模拟）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，平面A1B1BA⊥平面ABC，二面角B1﹣BC﹣A的大小为45°，AB＝2，BC＝A1B1＝AA1＝1． （1）求证：AA1⊥平面ABC； （2）求异而直线