精品解析：上海市上海大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

上海大学附属中学2023学年第一学期高三年级数学期中 2023.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，则__________. 2. 双曲线的渐近线方程为_______. 3. 若数列是首项为2，公比为3的等比数列，则_________． 4. 的二项展开式中x的系数为_______． 5. 已知正实数a、b满足，则的最小值等于____________． 6. 已知，，则在方向上的数量投影等于__________． 7. 已知在角的终边上，则________． 8. 已知一组数据中位数为4，则其总体方差为___________． 9. 由函数的观点，不等式的解集是________． 10. 抛物线C上任意一点都满足，则抛物线C的焦点到准线的距离为___________. 11. 一个“皇冠”状空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为______. 12. 对于数列，记，，，则称是的“下界数列”，令，是的下界数列，则_____________； （参考公式：） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 13. 已知a，，则“”是“”的（ ）条件. A 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单，要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有 A. 14种 B. 48种 C. 72种 D. 120种. 15. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则= A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 16. 若对一个角，存在角满足，则称为的“伴随角”.有以下两个命题： ①若，则必存在两个“伴随角”； ②若，则必不存在“伴随角”； 则下列判断正确的是（ ） A. ①正确②正确； B. ①正确②错误； C. ①错误②正确； D. ①错误②错误. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，长方体中，，点P为棱的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成的角．（用反三角函数表示） 18. 已知函数（，）． （1）若时，判断函数在上的单调性，并说明理由． （2）若对于定义域内一切x，恒成立，求实数m值． 19. 节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点、及的中点处，，，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与、等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道、、．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为． （1）将表示为的函数； （2）试确定点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到）． 20. 已知椭圆（常数），点，，为坐标原点． （1）求椭圆离心率取值范围； （2）若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； （3）设，是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 21. 设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”. （1）若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由; （2）已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由. （3）若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海大学附属中学2023学年第一学期高三年级数学期中 2023.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由交集运算求解. 详解】 故答案为： 2. 双曲线的渐近线方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据方程得出，即可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】根据双曲线的方程得 则其渐近线方程为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求双曲线的渐近线方程，属于基础题. 3. 若数列是首项为2，公比为3的等比数列，则_________． 【答案】728 【解析】 【分析】用等比数列的求和公式即可. 【详解】 故答案为：728 4. 的二项展开式中x的系数为_______． 【答案】112 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出指定项的系数即得. 【详解】二项式的展开式通项， 由，解得，则， 所以的二项展开式中x的系数为112. 故答案为：112 5.