专题10.1 统计（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题10.1 统计 【核心素养】 1.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，凸显数据分析的核心素养． 2．借助频率分布表画频率分布直方图、频率折线图，提升读图、数据分析的能力，凸显直观想象、数据分析的核心素养． 3．能从样本数据中提取样本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释，凸显数学运算的核心素养． 4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，凸显数学建模的核心素养． 知识点一 简单随机抽样 1．简单随机抽样的特点 (1)抽取的个体数较少；(2)是逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样． 2.抽签法与随机数法的适用情况 (1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况． (2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点： 一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法． 3.分层抽样问题类型及解题思路 (1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． (2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． (3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝＝”． 提醒：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n·(i＝1,2，…，k)个个体(其中i是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量)． 知识点二 用样本估计总体 1.频率、频数、样本容量的计算方法 (1)×组距＝频率． (2)＝频率，＝样本容量， 样本容量×频率＝频数． (3)各个小方形的面积总和等于1 . 2．频率分布表的画法 第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差/组数； 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． 3．频率分布直方图中数字特征的计算 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． (4)在很多题目中，频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布． 4.茎叶图的画法步骤： 第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分； 第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列； 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧． 知识点三 中位数、众数、平均数、方差、标准差、百分位 1.众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平； 2.中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用）中位数反应一组数据的中间水平； 平均数：反应一组数据的平均水平； 3.方差：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定． 4.标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度． 5.百分位：一般地，一组数据的第p百分位是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p%）的数据大于或等于这个值. 常考题型剖析 题型一： 简单随机抽样 【典例分析】 例1-1．（2023上·四川成都·高三石室中学校考期中）学校举行舞蹈比赛，现从报名的50位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这50位学生按01、02、、50进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第5个号码所对应的学生编号为（      ）． 0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617 A．43 B．25 C．32 D．12 例1-2.（2022·江苏·高三专题练习）采用抽签法从含有3个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，则所有可能的样本为______. 【总结提升】 不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的． 【变式训练】 变式1-1．（2023·贵州·统考模拟预