08第八章 统计和概率（知识梳理+考点突破+跟踪训练）-【学考复习】2024年高中数学学业水平考试必备考点归纳与测试（江苏专用）

第八章 统计和概率 1．简单随机抽样 (1)简单随机抽样 分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样．除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样． (2)简单随机样本 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本． (3)简单随机抽样的常用方法 实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法． 2．总体平均数与样本平均数 名称 定义 总体均值 (总体 平均数) 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝ 样本均值 (样本 平均数) 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝为样本均值，又称样本平均数 说明：①在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数 ②总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性) ③一般情况下，样本量越大，估计越准确 3.分层随机抽样 (1)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． (2)分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为，，样本平均数为，则＝＋＝＋.我们可以用样本平均数估计总体平均数. 4．统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等． (2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义 5．总体百分位数的估计 (1)第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． (2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 6．样本的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数． (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． (3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数． (4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是s＝， s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 7．常用结论 （1）若x1，x2，…，xn的平均数为1，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋A． （2）数据x1，x2，…，xn与数据x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变． （3）若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. 7．样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件． ②表示：大写字母A，B，C，…. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 8．古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个． (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 9．古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 10．概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)