1．3 集合的基本运算讲义--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合的基本运算核心知识点，通过思维导图构建知识框架，知识回顾夯实并集、交集、补集的定义与性质，题型精讲从基础运算到综合应用、参数求解、新定义问题等，形成完整学习支架。 资料以核心素养为导向，用韦恩图、数轴培养数学眼光（几何直观），分层题型设计提升数学思维（推理能力），新定义问题强化数学语言表达。课中辅助教师授课，课后精练与培优拓展助力学生查漏补缺。

1．3 集合的基本运算 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：集合的运算 3 知识点二：集合基本运算的一些结论 4 03 题型精讲 6 题型 1：交集概念及运算性质 6 题型 2：并集概念及运算性质 7 题型 3：补集运算 8 题型 4：交、并、补的综合运算 9 题型 5：由交并补运算结果求参数 11 题型 6：容斥原理 12 题型 7：韦恩图的综合应用 14 题型 8：集合新定义问题 16 题型 9：利用交并补性质求参数（解答题） 19 04 课后精练 22 05 培优拓展 31 知识点一：集合的运算 1、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} Venn图表示： 知识点诠释： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）． 2、交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合． 3、补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）． 知识点二：集合基本运算的一些结论 1、交集的常用性质 性质 说明 交换律 满足交换律 自等律 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 零律 任何集合与空集的交集等于空集 结合律 满足结合律 包含关系 ， 两个集合的交集是其中任一集合的子集 子集关系 若，则， 若，则 任何集合同它子集的交集等于这个集合的子集 分配律 , 满足分配律 2、并集的常用性质 性质 数学符号表示 交换律 自等律 零律 结合律 包含关系 , 子集关系 若,则, 若,则, 题型 1：交集概念及运算性质 【典例1】（山东省日照市校际联合考试2025-2026学年高二开学考试数学试题）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，因此，又，因此. 【方法技巧与总结】 求集合A∩B的步骤与注意点 （1）步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可（相同元素只写一个）． （2）注意：若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 【变式1-1】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，，所以． 【变式1-2】（2026·高三·北京海淀·开学考试）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因集合，则. 【变式1-3】（2026·高三·北京朝阳·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据交集的定义： . 题型 2：并集概念及运算性质 【典例2】设集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，集合， 所以. 【方法技巧与总结】 求集合并集的两个方法 （1）若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集． （2）若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得． 【变式2-1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合，，则. 【变式2-2】（2026·高三·湖南株洲·开学考试）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，， 所以. 【变式2-3】（2026·高三·北京·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，，则. 题型 3：补集运算 【典例3】（2026·贵州黔南·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以， 又全集，所以 【方法技巧与总结】 补集的求解步骤及方法 （1）步骤：①确定全集：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集； ②紧扣定义求解补集． （2）方法：①借助Venn图或数轴求解； ②借助补集性质求解． 【变式3-1】（2026·高二·天津静海·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知全集，集合，则， 又，因此. 【变式3-2】（2026·高二·辽宁沈阳·期末）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 集合由中满足的元素构成， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， 所以，则. 【变式3-3】（2026·高二·江西上饶·期末）设全集为R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知全集为且，可得， 又，则. 题型 4：交、并、补的综合运算 【典例4】设集合，，，求，，，． 【解析】，，， ， ， ，， ， . 【方法技巧与总结】 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点 （1）方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B， A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B． （2）关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解． 【变式4-1】（2026·高一·四川广安·阶段检测）（1）已知全集，集合，，求：和； （2）设全集，，，求、. 【解析】（1）因为全集，集合，， 所以，故， 因为，，故； （2）因为全集，，， 所以， 因为或，故. 【变式4-2】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知全集，，求： (1)； (2). 【解析】（1）因为， 由交集的定义得，如图：     ， 又由并集的定义得，如图：   ， 因此，，. （2）由全集，，得或. 又，由交集的定义得，如图： . 【变式4-3】（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 【解析】（1）由，，可得. （2）因为，，所以. （3）因为，或， 或. 题型 5：由交并补运算结果求参数 【典例5】（多选题）（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知全集，，则下列选项正确的为（ ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】ABD 【解析】由题设，又， 所以，，，则的不同子集的个数为个，B对， 由，则，故， 所以，C错，A、D对. 故选：ABD 【方法技巧与总结】 求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴（这也是集合的图形语言的常用表示方式）可以使问题变得形 象直观，要注意求解时端点的值是否能取到． 【变式5-1】（多选题）（2026·高一·河南信阳·期中）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】，，， ，， 由且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； 故选：ACD 【变式5-2】（多选题）（2026·高一·陕西咸阳·期中）设全集，集合，则集合可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】， ， 集合必须有3，6两个元素，不能有0，4这两个元素，可知选项ACD符合； 故选：ACD 【变式5-3】（多选题）（2026·高一·山东青岛·阶段检测）设全集，集合，，若，，，则（   ） A． B． C．真子集的个数31 D． 【答案】ACD 【解析】由题意知， 作出韦恩图，如图， 由图可知，故A正确，B错误； 所以集合的真子集个数为个，故C正确； ，故，故D正确. 故选：ACD 题型 6：容斥原理 【典例6】学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 【答案】20 【解析】先把会三种球的人数加起来：（人）， 这里面，只会两种球的人被重复算了1次，三种球都会的人被重复算了2次， 而实际至少会一种的只有80人，三种球都会的5人，多算了2次，一共多算：， 用总加和减去多算的部分，再减去实际的总人数，剩下的就是只会两种球的人数：． 【方法技巧与总结】 韦恩图在集合运算中扮演着重要角色，它通过图形化方式直观展示集合之间的交集、并集和补集等关系。具体来说，韦恩图使用圆形或椭圆形表示集合，重叠部分表示集合的交集，而两个集合的全部区域（包括重叠和非重叠部分）则表示并集。此外，韦恩图还能清晰地展示一个集合在全集中的补集。这种可视化方法不仅简化了集合运算的理解过程，还有助于解决复杂的逻辑问题，广泛应用于数学、逻辑学、统计学等多个领域。 【变式6-1】（2026·高一·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【答案】5 【解析】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． 【变式6-2】（2026·高一·江西赣州·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 【答案】10 【解析】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得， 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故答案为：10 【变式6-3】（2026·高一·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 【答案】 【解析】因为前两天都售出的商品有种， 因此第一天售出且第二天没有售出的商品有种； 同理由后两天都售出的商品有种， 则第三天售出的商品中有种第二天未售出； 所以三天售出商品种数最少时， 即第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的，且第二天未售出的那些即可， 所以这三天售出的商品至少有种. 故答案为：；. 题型 7：韦恩图的综合应用 【典例7】全集，，，，，则________，________ 【答案】 【解析】法一：根据题意作出Venn图如图所示： 由图可知，． 法二：∵， ∴． 又， ∴． ∵，， ∴． 【变式7-1】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，则图中阴影部分所表示的集合为__________． 【答案】 【解析】当时，，得，不符合； 当时，，得； 当时，，得，不符合， 故， ，， 则阴影部分表示在集合中，但不在集合中的元素构成的集合，即. 故答案为： 【变式7-2】（2026·高一·河南·阶段检测）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为___________．    【答案】或 【解析】由题意得，，则或， 故阴影部分表示的集合为或. 故答案为：或 【变式7-3】（2026·高一·上海·阶段检测）设全集且，则 _____. 【答案】 【解析】由全集且， 如图所示，可得. 故答案为：. 题型 8：集合新定义问题 【典例8】定义两种新运算“⊕”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有．已知全集，集合，． (1)求全集U和集合A． (2)集合A，B是否能满足？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由． 【解析】（1）全集中， 由中条件，得. 只能有下面三种情况： ①，，此时； ②，，此时； ③，，此时． 所以． 集合中， 由中条件，得. 只能，，此时，所以． （2）因为，要使，则集合的元素不能为0或1，即0和1都不是方程的根. 当时，代入方程得；当时，代入方程得，解得. 因此，要满足条件，需且. 【变式8-1】（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）对任意，，记，称为集合，的对称差． (1)若为2的倍数，为3的倍数，求； (2)若，，，求，； (3)证明：对任意，，，． 【解析】（1）因为；，则,， 则； （2）因为，，， 则，又因为， 若，则时，，，不合题意，舍去； 所以，则，可得，， 则，所以； （3）证明： 设， ； 设， ； 所以. 【变式8-2】（2026·高一·北京顺义·期末）对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 【解析】（1）由题意，集合，且， 当时，可得； 当时，可得. （2）由题意，集合， 对于，其中， 当时，此时中的元素个数最少， 若时，中的元素个数最少； （3）若时，可得，要使得且， 则，即. 若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立. 综上可得： ，. 【变式8-3】（2026·高二·广东梅州·期末）对于集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合B和C，满足，，且B的所有元素之和与C的所有元素之和相等，则称集合A为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集合”，并说明理由： (1)； (2)． 【解析】（1） 集合不是“可分集合”，理由如下： 因为， 当去掉元素2时，计算知： ，，． 可见集合去掉元素2后，剩余元素组成集合不可能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合，即集合不是“可分集合”． （2）集合是“可分集合”， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 因此任意去掉集合中的一个元素之后，剩余的所有元素组成集合总能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合． 题型 9：利用交并补性质求参数（解答题） 【典例9】（2026·高二·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【解析】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 【方法技巧与总结】 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点 （1）方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B， A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B． （2）关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解． 【变式9-1】（2026·高一·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 【变式9-2】（2026·高一·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【解析】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 【变式9-3】（2026·高一·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． 1．（2026·高一·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，, 其中组成了所有整数， 则, 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 3．（2026·新疆·模拟预测）已知、，集合，，若，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】已知集合，，且，所以，即. 若，则，此时，，与矛盾，舍去. 若，则，此时，，符合条件. 综上所述，. 4．（2026·广东·模拟预测）已知集合，全集和集合．若，则可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，， 所以， 综合选项判断可得B正确. 故选：B. 5．设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：1)属于，属于；2）中任意多个元素的并集属于；3）中有限个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④． 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（   ） A．② B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】D 【解析】②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合上的一个拓扑； ③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合上的一个拓扑； ④中，故④不是集合上的一个拓扑； 因此集合上的拓扑的集合的序号是②③. 故选：D． 6．（2026·高一·全国·期中）已知集合，若，则符合条件的实数m的值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，； 当时，， 要使，则或，即或， 所以实数的值组成的集合为. 故选：C 7．（2026·高一·湖北咸宁·阶段检测）调查表示火箭军、太空军、网络军位列2025年9.3军演最受欢迎前三个军种，某社区调查了该社区的部分市民的观看评价情况，调查结果显示：在网上评价了火箭军的有100人，评价了太空军的有89人，评价了网络军的有80人，三个军种都评价了的有24人，评价了其中两个军种的有46人，这三个军种都未评价的有15人.则接受调查的市民共有（    ） A．190人 B．120人 C．144人 D．178人 【答案】A 【解析】不妨将评价了火箭军、太空军、网络军的市民分别用集合A，B，C表示， 则，，，， 不妨设总人数为，只评价了火箭军、太空军的人数为， 只评价了太空军、网络军的人数为， 只评价了火箭军、网络军的人数为， 则. 如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 则，，， 由三个集合的容斥关系公式得， ， 解得，故接受调查的市民共有190人. 故选：A 8．（多选题）（多选）已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（　　）. A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】∵，∴. ①若，则，解得. ∵，， ∴，且，解得. 此时. ②若，则，解得，符合题意． 综上，实数满足即可. 9．（多选题）（2026·高一·广东深圳·期中）已知全集U，若对任意的，都有，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由题，可得， 对于AB，因为，所以，，故AB正确； 对于C，如图所示，表示①，而①与②无公共部分，故，故C正确； 对于D，表示①和③，故表示②和③部分，表示③，故D错误. 故选：ABC. 10．（多选题）（2026·高一·陕西西安·期中）以下命题正确的有（   ） A．已知全集，，，那么； B．若集合，且，则m的值为0或1； C．集合，，若，则实数a的取值集合为 D．若集合A满足：⫋，则这样的集合A有7个. 【答案】AD 【解析】对于A，，，， 所以，故A正确； 对于B，集合，且， 则或，解得或， 当时，不满足集合的互异性， 当时，，故B错误； 对于C，若，则或或， 若，则，解得， 若，则，解得， 若，则， 则实数a的取值集合为，故C错误； 对于D，⫋， 则可以是：， 故这样的集合A有7个.故D正确. 故选：AD. 11．（多选题）（2026·高一·山东青岛·期中）用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，若，则实数的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】BCD 【解析】由或，则必有， 当，或时，， 当，时，， 当，时，， 由，则， 由，可得或， 所以或或. 故选：BCD 12．设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 【答案】 【解析】由，得，， 当时，，满足题意， 当时，，所以或，所以或， 故所求集合为. 13．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】先求解的情况： 当集合为空集时，则， 解得，此时. 当集合非空时，需满足，若， 分析可得在右侧，即，解得. 综上，时，或， ∴ 时，的取值范围是. 14．（2026·高一·河南新乡·期中）设全集，，则使成立的集合B至多有________个． 【答案】8 【解析】，根据，可知，即， 所以共有8种， 所以集合B至多有8个． 故答案为：8． 15．（2026·高一·吉林·期中）设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 【答案】010101 【解析】由，，得，则， 因此此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第个字符为1，其余字符均为0， 所以表示的6位字符串是010101. 故答案为：010101 16．已知，或，若，求a的取值范围． 【解析】由可知，， ①若，则，解得； ②若，如图所示 则有或， 解得或． 综上所述，a的取值范围是或． 17．（2026·高一·云南怒江·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）若，则集合，或， 又集合， 所以， 或； （2）由可得，解得， 所以实数的取值范围是． 18．（2026·高一·上海·阶段检测）设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，得到或，所以    ， 故集合的所有子集为. （2）因为，则，又， 方程，， 若，即，方程无解，此时，满足题意； 若，即，由，即，解得， 此时，满足题意； 若，即，要使，则方程的解集为或， 则，解得， 综上所述，或. 19．（2026·高一·安徽池州·期中）已知集合. (1)若，求实数的值； (2)求实数的范围，使得. 【解析】（1）∵，∴，解得或． （2）由知， 又， ①当时，无实数根， 即，解得； ②当时，有两相等实数根， ，则，符合题意； ③当时，有两相等实数根， ，则， 此时为，即，则，不合题意； 当时，有两实数根0和4， 此时且，解得； 故综上所述，的取值范围为． 20．（2026·高一·黑龙江大庆·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，则， 所以或. （2）由，得， 当，即时，，符合题意，因此； 当时，，解得， 所以的取值范围是. 1．（2026·高二·北京怀柔·期末）设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【解析】根据笛卡尔积的定义逐一分析：①和③可举反例判定为假；②可通过证明集合相等判定为真；④可根据定义确定元素个数即可. 对于①，根据新定义，设，， 根据定义且， 则 ，而，显然，所以①错误． 对于②， 对于任意的，根据定义可知且， 即或者．若，则； 若，则．所以， 即 ． 反之，对于任意的， 则或者， 若，则且， 若，则且， 所以且，即， 所以． 综上，，②正确． 对于③， 设，，， 则，， ，， 所以，所以③错误． 对于④， 已知集合中有个元素，集合中有个元素． 对于且，从中取一个元素有种取法， 从中取一个元素有种取法．所以中元素的个数为，所以④正确． 综上，正确的命题有②④. 2．（2026·高一·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【解析】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 3．（2026·高一·河南·阶段检测）已知集合，若集合是的个不同子集，且为的真子集，则的最大值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】的子集有： ， 要满足为的真子集，且的最大， 由8个子集可知：两个元素的子集最多一个， 若两个元素的子集有两个，任意两个的并集都是，不符合题意， 单元素子集最多两个， 若单元素子集有3个，，并集为，不符合题意， 再包含一个空集， 举例：符合题意. 即的最大值是， 故选：B 4．（多选题）（2026·高二·安徽·期末）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】ABD 【解析】选项 A，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故A 正确； 选项 B，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故B 正确； 选项 C，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集, 故C 错误； 选项 D，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故D 正确. 5．（多选题）（多选）设，为集合，定义集合为与的笛卡尔乘积，记作，则下列结论正确的是（   ） A．笛卡尔乘积满足交换律，即有 B．若，，则集合含有6个元素 C．若，，则集合含有9个元素 D．若，，则 【答案】BC 【解析】对于A，若，，则，，显然，故A错误； 对于B，，含有6个元素，故B正确； 对于C，， ， ，含有9个元素，故C正确； 对于D，集合是所有偶数的集合，集合是所有奇数的集合， 因此，包含所有形如（偶数，奇数）的有序对，包含所有形如（奇数，偶数）的有序对， 显然并不能覆盖所有形如（整数，整数）的有序对，因为缺少（偶数，偶数）和（奇数，奇数）的有序对，故D错误． 故选：BC． 6．（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷02（北京专用）【范围：人教B版必修一第1~2章】）对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 【答案】②③④ 【解析】对于①，因为⊕，所以，，故，故①错误； 对于②，，且⊕，则，， 即与是相同的，所以，故②正确； 对于③，，且⊕，则，， 故，且中元素不能出现在中，故，故③正确； 对于④，⊕ ， 其中， ， 故⊕ ，，， 而⊕，，故⊕⊕，故④正确． 7．（2026·高三·陕西西安·开学考试）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是_____ ①．集合不是“闭集合” ②．正整数集是“闭集合” ③．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 ④．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】①②④ 【解析】②，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故②正确； ③，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集， 故③错误； ④，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故④正确． 8．（2026·高一·上海·开学考试）对于正整数的子集（且），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“平分集” (1)请你直接写出一个‘平分集’ (2)若集合（且）是‘平分集’ ①判断的奇偶性并证明 ②求：集合中元素个数的最小值 【解析】（1）; （2）①设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同, 如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数. 如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“平分集”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“平分集”. 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数. 综上所述，集合中元素个数为奇数. ②由①知若集合A是平分集，并且集合A中元素个数为奇数， 当时，显然任意集合不是“平分集”. 当时，不妨设，若集合A为平分集， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有①，或者②； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有③，或者④. 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾； 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾. 因此当时，集合一定不是“平分集”； 当，设集合， 去掉1后，， 去掉3后，， 去掉5后，， 去掉7后，， 去掉9后，， 去掉11后，， 去掉13后，， 故集合是平分集， 所以，集合A中元素个数, 中元素个数最小值为7. 9．（2026·高一·黑龙江牡丹江·开学考试）（1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值. （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： ①若，则集合中还有其他两个元素； ②集合不可能是单元素集合. 【解析】因为集合可表示为，也可表示为，即 则满足，且，解得，所以. （2）①若，则；若，则； 若，则， 所以当时，集合中必含有另两个元素和； ②假设集合中只有个元素（）， 由题意可知，因为集合为单元素集合，所以，即， 又由，则此方程无实数解，所以假设不成立， 所以集合不可能是单元素集合. 10．对于非负整数集合（非空），若对任意，都有，或者，则称为一个好集合，以下记为的元素个数． (1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可） (2)设集合，，若集合为好集合，求出、、，所满足的条件．（需说明理由） 【解析】（1）， （2）由题意：，故，即， 考虑、，可知， ∴或． 若，则考虑，， ∵，∴，则， ∴，但此时，不满足题意； 若，此时，满足题意， ∴，其中、为相异正整数． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．3 集合的基本运算 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：集合的运算 3 知识点二：集合基本运算的一些结论 4 03 题型精讲 6 题型 1：交集概念及运算性质 6 题型 2：并集概念及运算性质 7 题型 3：补集运算 8 题型 4：交、并、补的综合运算 9 题型 5：由交并补运算结果求参数 10 题型 6：容斥原理 11 题型 7：韦恩图的综合应用 12 题型 8：集合新定义问题 13 题型 9：利用交并补性质求参数（解答题） 15 04 课后精练 17 05 培优拓展 22 知识点一：集合的运算 1、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} Venn图表示： 知识点诠释： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）． 2、交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合． 3、补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）． 知识点二：集合基本运算的一些结论 1、交集的常用性质 性质 说明 交换律 满足交换律 自等律 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 零律 任何集合与空集的交集等于空集 结合律 满足结合律 包含关系 ， 两个集合的交集是其中任一集合的子集 子集关系 若，则， 若，则 任何集合同它子集的交集等于这个集合的子集 分配律 , 满足分配律 2、并集的常用性质 性质 数学符号表示 交换律 自等律 零律 结合律 包含关系 , 子集关系 若,则, 若,则, 题型 1：交集概念及运算性质 【典例1】（山东省日照市校际联合考试2025-2026学年高二开学考试数学试题）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求集合A∩B的步骤与注意点 （1）步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可（相同元素只写一个）． （2）注意：若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 【变式1-1】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高三·北京海淀·开学考试）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高三·北京朝阳·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型 2：并集概念及运算性质 【典例2】设集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求集合并集的两个方法 （1）若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集． （2）若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得． 【变式2-1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高三·湖南株洲·开学考试）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高三·北京·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型 3：补集运算 【典例3】（2026·贵州黔南·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 补集的求解步骤及方法 （1）步骤：①确定全集：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集； ②紧扣定义求解补集． （2）方法：①借助Venn图或数轴求解； ②借助补集性质求解． 【变式3-1】（2026·高二·天津静海·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高二·辽宁沈阳·期末）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高二·江西上饶·期末）设全集为R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型 4：交、并、补的综合运算 【典例4】设集合，，，求，，，． 【方法技巧与总结】 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点 （1）方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B， A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B． （2）关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解． 【变式4-1】（2026·高一·四川广安·阶段检测）（1）已知全集，集合，，求：和； （2）设全集，，，求、. 【变式4-2】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知全集，，求： (1)； (2). 【变式4-3】（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 题型 5：由交并补运算结果求参数 【典例5】（多选题）（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知全集，，则下列选项正确的为（ ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 【方法技巧与总结】 求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴（这也是集合的图形语言的常用表示方式）可以使问题变得形 象直观，要注意求解时端点的值是否能取到． 【变式5-1】（多选题）（2026·高一·河南信阳·期中）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选题）（2026·高一·陕西咸阳·期中）设全集，集合，则集合可能为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（多选题）（2026·高一·山东青岛·阶段检测）设全集，集合，，若，，，则（   ） A． B． C．真子集的个数31 D． 题型 6：容斥原理 【典例6】学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 【方法技巧与总结】 韦恩图在集合运算中扮演着重要角色，它通过图形化方式直观展示集合之间的交集、并集和补集等关系。具体来说，韦恩图使用圆形或椭圆形表示集合，重叠部分表示集合的交集，而两个集合的全部区域（包括重叠和非重叠部分）则表示并集。此外，韦恩图还能清晰地展示一个集合在全集中的补集。这种可视化方法不仅简化了集合运算的理解过程，还有助于解决复杂的逻辑问题，广泛应用于数学、逻辑学、统计学等多个领域。 【变式6-1】（2026·高一·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【变式6-2】（2026·高一·江西赣州·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 【变式6-3】（2026·高一·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 题型 7：韦恩图的综合应用 【典例7】全集，，，，，则________，________ 【变式7-1】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，则图中阴影部分所表示的集合为__________． 【变式7-2】（2026·高一·河南·阶段检测）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为___________．    【变式7-3】（2026·高一·上海·阶段检测）设全集且，则 _____. 题型 8：集合新定义问题 【典例8】定义两种新运算“⊕”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有．已知全集，集合，． (1)求全集U和集合A． (2)集合A，B是否能满足？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由． 【变式8-1】（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）对任意，，记，称为集合，的对称差． (1)若为2的倍数，为3的倍数，求； (2)若，，，求，； (3)证明：对任意，，，． 【变式8-2】（2026·高一·北京顺义·期末）对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 【变式8-3】（2026·高二·广东梅州·期末）对于集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合B和C，满足，，且B的所有元素之和与C的所有元素之和相等，则称集合A为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集合”，并说明理由： (1)； (2)． 题型 9：利用交并补性质求参数（解答题） 【典例9】（2026·高二·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【方法技巧与总结】 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点 （1）方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B， A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B． （2）关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解． 【变式9-1】（2026·高一·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【变式9-2】（2026·高一·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【变式9-3】（2026·高一·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 1．（2026·高一·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·新疆·模拟预测）已知、，集合，，若，则（    ） A． B． C．或 D． 4．（2026·广东·模拟预测）已知集合，全集和集合．若，则可能正确的是（    ） A． B． C． D． 5．设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：1)属于，属于；2）中任意多个元素的并集属于；3）中有限个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④． 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（   ） A．② B．①③ C．②④ D．②③ 6．（2026·高一·全国·期中）已知集合，若，则符合条件的实数m的值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·湖北咸宁·阶段检测）调查表示火箭军、太空军、网络军位列2025年9.3军演最受欢迎前三个军种，某社区调查了该社区的部分市民的观看评价情况，调查结果显示：在网上评价了火箭军的有100人，评价了太空军的有89人，评价了网络军的有80人，三个军种都评价了的有24人，评价了其中两个军种的有46人，这三个军种都未评价的有15人.则接受调查的市民共有（    ） A．190人 B．120人 C．144人 D．178人 8．（多选题）（多选）已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（　　）. A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·广东深圳·期中）已知全集U，若对任意的，都有，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·陕西西安·期中）以下命题正确的有（   ） A．已知全集，，，那么； B．若集合，且，则m的值为0或1； C．集合，，若，则实数a的取值集合为 D．若集合A满足：⫋，则这样的集合A有7个. 11．（多选题）（2026·高一·山东青岛·期中）用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，若，则实数的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D． 12．设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 13．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 14．（2026·高一·河南新乡·期中）设全集，，则使成立的集合B至多有________个． 15．（2026·高一·吉林·期中）设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 16．已知，或，若，求a的取值范围． 17．（2026·高一·云南怒江·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 18．（2026·高一·上海·阶段检测）设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 19．（2026·高一·安徽池州·期中）已知集合. (1)若，求实数的值； (2)求实数的范围，使得. 20．（2026·高一·黑龙江大庆·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 1．（2026·高二·北京怀柔·期末）设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 2．（2026·高一·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 3．（2026·高一·河南·阶段检测）已知集合，若集合是的个不同子集，且为的真子集，则的最大值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（多选题）（2026·高二·安徽·期末）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 5．（多选题）（多选）设，为集合，定义集合为与的笛卡尔乘积，记作，则下列结论正确的是（   ） A．笛卡尔乘积满足交换律，即有 B．若，，则集合含有6个元素 C．若，，则集合含有9个元素 D．若，，则 6．（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷02（北京专用）【范围：人教B版必修一第1~2章】）对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 7．（2026·高三·陕西西安·开学考试）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是_____ ①．集合不是“闭集合” ②．正整数集是“闭集合” ③．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 ④．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 8．（2026·高一·上海·开学考试）对于正整数的子集（且），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“平分集” (1)请你直接写出一个‘平分集’ (2)若集合（且）是‘平分集’ ①判断的奇偶性并证明 ②求：集合中元素个数的最小值 9．（2026·高一·黑龙江牡丹江·开学考试）（1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值. （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： ①若，则集合中还有其他两个元素； ②集合不可能是单元素集合. 10．对于非负整数集合（非空），若对任意，都有，或者，则称为一个好集合，以下记为的元素个数． (1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可） (2)设集合，，若集合为好集合，求出、、，所满足的条件．（需说明理由） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $