07第七章 立体几何初步（知识梳理+考点突破+跟踪训练）-【学考复习】2024年高中数学学业水平考试必备考点归纳与测试（江苏专用）

第七章 立体几何初步 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则 ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 　　　名称 几何体　　　 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 5．正方体与球 的切、接常用结论：正方体的棱长为a，球的半径为R. (1)若球为正方体的外接球，则2R＝a. (2)若球为正方体的内切球，则2R＝a. (3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. 6．长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 7．正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长)． 8．与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的三个基本事实 基本 事实 内容 图形 符号 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l (2)基本事实1的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 确定平面的依据　 9.空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形 语言 符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形 语言 符号 语言 a，b是异面直线 a⊂α 10.基本事实4和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 11．异面直线所成的角 (1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：. 12．直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 13.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒