05第五章 三角函数（知识梳理+考点突破+跟踪训练）-【学考复习】2024年高中数学学业水平考试必备考点归纳与测试（江苏专用）

第五章 三角函数 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类 (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3．任意角的三角函数 (1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)． (2)任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)． (3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． 4．常用结论 （1）角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用． （2）象限角 （3）轴线角 5．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tanα. 6．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα 口诀 奇变偶不变，符号看象限 7．常用结论 （1）同角三角函数的基本关系的常见变形 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα. （2）诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化． （3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 8．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ. cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ. tan(α±β)＝. 9．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝2sinαcosα. cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan2α＝. 10．辅助角公式 asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝. 11．两角和与差的正切公式的变形 (1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)． (2)tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)． 12．倍角公式的变形 (1)降幂公式：sinαcosα＝sin2α；sin2α＝；cos2α＝. (2)升幂公式：1±sin2α＝(sinα±cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α. 13．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 14．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 增区间 (k∈Z)； 减区间 (k∈Z)　　　 　 减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)； 增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z) 增区间 (k∈Z) 对称 中心 (kπ，0)(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) 对称轴 x＝kπ＋(k∈Z) x＝kπ (k∈Z) 无 考点一　象限角与终边相同的角 【例1】若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　　) A．{α B．{α C．{α D．{α 归纳点拨 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写