04第四章 幂函数与二次函数、指数与指数函数、对数与对数函数（知识梳理+考点突破+跟踪训练）-【学考复习】2024年高中数学学业水平考试必备考点归纳与测试（江苏专用）

第四章 幂函数与二次函数、指数与指数函数、对数与对数函数 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象，如图． (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义． ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在 上是减函数； 在 上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 考点一　幂函数的图象和性质 【例1】已知幂函数f(x)的图象过点(9,3)，则函数f(x)的图象大致是(　　) 归纳点拨 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 对点训练 1．已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－2是幂函数，且为偶函数，则实数m＝(　　) A．2或－1 　B．－1 　C．4 　D．2 2．已知a＝2，b＝3，c＝4，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．c<b<a 3．若(a＋1)－2>(3－2a)－2，则a的取值范围是________． 考点二　二次函数的解析式 【例2】　(1)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有<0．请写出函数f(x)的一个解析式__________．(只要写出一个即可) (2)(2023·郑州外国语学校月考)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则该二次函数的解析式为__________． 归纳点拨 求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式． (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式． 对点训练 1．已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标分别为(0,0)和(－2,0)，且有最小值－1，则f(x)＝__________． 2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝__________． 考点三　二次函数的图象与性质 【例3】　(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论正确的为(　　) A．b2>4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a<b 归纳点拨 (1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． (2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件． 对点训练 1．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 考点四　二次函数的单调性与最大(小)值 【例4】已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值． 归纳点拨 闭区间上二次函数最值问题的解法 抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解． 对点训练 1．函数f(x)＝x2＋2x在区间[t，t＋1]上的最小值为8，求实数t的值，如何求解？ 2．已知函数y＝x2－2x＋3在[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为(　　) A．[0,1]　B．[1,2]　C．(1,2]　D．(1,2) 考点五　二次函数的恒成立问题 【例5】(1)