03第三章 函数的概念与性质（知识梳理+考点突破+跟踪训练）-【学考复习】2024年高中数学学业水平考试必备考点归纳与测试（江苏专用）

第三章 函数的概念与性质 1．函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 2．同一个函数 (1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同． (2)结论：这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 5．常用结论 （1）直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点． （2）判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致． 6．函数的定义域 (1)求定义域的步骤 ①写出使函数式有意义的不等式(组)． ②解不等式(组)． ③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (2)基本初等函数的定义域 ①整式函数的定义域为R． ②分式函数中分母不等于0． ③偶次根式函数被开方式大于或等于0． ④一次函数、二次函数的定义域均为R． ⑤函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}． ⑥指数函数的定义域为R． ⑦对数函数的定义域为(0，＋∞)． 7．函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R． (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为． (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R． 7．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 8．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈I，都有f(x)≤M ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M ①∀x∈I，都有f(x)≥M ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 9．常用结论 若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质 (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． (4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． 10．增函数(减函数)的等价变形 (1)∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数． (2)∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1) －f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． 11．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 12．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 考点一