02第二章 不等式性质、一元二次函数、方程和不等式（知识梳理+考点突破+跟踪训练）-【学考复习】2024年高中数学学业水平考试必备考点归纳与测试（江苏专用）

第三章 不等式性质、一元二次函数、方程和不等式 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法： (2)作商法 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a. (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c. (3)同向可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d. (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. (5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)． (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 3．二次函数与一元二次方程、不等式解集的对应关系 设y＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac. 判别式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0) 的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 4．常用结论 （1）若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0)． （2）若ab>0，且a>b⇔<. （3）>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)；≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 考点一　不等式的性质及其应用 【例1】若a<0，－1<b<0，则下列各式中正确的是(　　) A．a>ab>ab2 B．ab>a>ab2 C．ab2>ab>a D．ab>ab2>a 归纳点拨 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质． (2)比较大小的4种常用方法：作差法、作商法、单调性法和特殊值验证法． (3)运用不等式的性质解决范围问题时，应正确推导和变形，注意整体思想的运用． 对点训练 1．(多选)已知m>n，且m＋n>1，则(　　) A．2m>2n B．m2>n2 C．m2－m<n2－n D．ln|m|＋ln|n|>0 2．已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则与的大小关系为__________． 3．已知角α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________． 考点二　一元二次不等式的解法 【例2】　(1)不等式－2x2＋x＋3<0的解集为(　　) A． B． C．(－∞，－1)∪ D．∪(1，＋∞) (2)不等式≥0的解集为(　　) A．[－2,1] B．(－2,1] C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2]∪(1，＋∞) (3)解关于x的不等式kx2－2kx>x－2(k∈R)． 归纳点拨 (1)不含参数的一元二次不等式可以利用因式分解或对应方程的根求解，分式不等式转化为整式不等式进行． (2)含有参数的一元二次不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论． ①若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论． ②若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式． ③其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集. 对点训练 1．函数f(x)＝ln的定义域为(　　) A．{x B．{x C．{x D．{x 2．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是{x，则不等式ax2－bx＋c>0的解集为__________． 3．解关于x的不等式x2－2ax＋3≥0(a∈R)． 考点三　在实数集R上的恒成立 【例3】若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[－2,2] C．(－2,2] D．(－∞，－2) 归纳点拨 一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件 是 对点训练 1．若命题“∃x∈R，使得x2＋mx＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是(　　) A．[2,6] B．[－6，－2] C．(2,6) D．(－6，－2) 考点四　在给定区间上的恒成立 【例4】若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围为________． 归纳点拨 一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的