01第一章 集合、常用逻辑用语（知识梳理+考点突破+跟踪训练）-【学考复习】2024年高中数学学业水平考试必备考点归纳与测试（江苏专用）

第一章 集合、常用逻辑用语 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常用数集及记法 名称 自然 数集 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形 表示 集合 表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A， 且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A． (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A． (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A． 5.常用结论 （1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． （2）空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集． （3）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB． （4）∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 6．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 7．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 8．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 9．充要关系与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 10．常用结论 （1）区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同． （2）p是q的充分不必要条件，等价于綈q是p的充分不必要条件． （3）全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题． 考点一　集合的基本概念 【例1】集合A＝的元素个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】因为x∈N，n∈N，且x＝，所以n是16的正因数，即n的值可以是1,2,4,8,16，则A＝{1,2,4,8,16}，所以集合A中有5个元素，故选C． 归纳点拨 (1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 对点训练 1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝(　　) A．4 B．2 C．0 D．0或4 【答案】A 【解析】①当a＝0时，1＝0显然不成立；②当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，得a＝4.综上可知a＝4.故选A． 2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2023＋b2024＝__________. 【答案】0 【解析】由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝.所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2023＋b2024＝－1＋1＝0. 3．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________． 【答案】－ 【解析】由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时，m＋2＝3,2m2＋m＝3，根据集合中元素的互