湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考试卷（三）

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）数学 命题人：黄启光 审题人：李群丽 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分. 第Ⅰ卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（i为虚数单位），是的共轭复数，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，且，，则（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 4. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如30=7+23，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是(　　) A. B. C. D. 6. 已知，，．则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8. 已知函数的零点分别为，，…，（），则（ ） A. B. C. 0 D. 2 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则（ ） ，，） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若不等式解集为或，则 B. 若命题p：，，则p的否定为：， C. 在△ABC中，“”是“”的充要条件 D. 若对恒成立，则实数x的取值范围为 11. 已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的解析式为 B. 函数的解析式为 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数图象的一条对称轴是直线 12. 已知三棱锥P-ABC内接于球O，PA⊥平面ABC，，AB⊥AC，，点D为AB的中点，点Q在三棱锥P-ABC表面上运动，且，已知在弧度制下锐角，满足：，，则下列结论正确的是（ ） A. 过点D作球的截面，截面的面积最小为 B. 过点D作球的截面，截面的面积最大为 C. 点Q的轨迹长为 D. 点Q的轨迹长为 第Ⅱ卷 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为___________. 14. 已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________． 15. 若的展开式中第4项是常数项，则除以9的余数为_____________． 16. 已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点为（i=1，2，3，…，n）．若，则实数a的取值范围是________． 四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 半径为的圆内接，，为锐角． （1）求的大小； （2）若的平分线交于点，，，求的面积． 18. 已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项和. 19. 如图①，在等腰梯形中，,分别为的中点，，为的中点．现将四边形沿折起，使平面平面，得到如图②所示的多面体．在图②中： （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 20 已知函数． （1）讨论函数零点的个数； （2）是否存在正实数k，使得恒成立． 21. 某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为，上两级的概率为，设他上到第n级的概率为． （1）求他上到第10级的概率（结果用指数形式表示）； （2）若他上到第5级时，求他所用的步数X的分布列和数学期望． 22. 已知椭圆C：（）的离心率为，其左、右焦点分别为，，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）． （1）求椭圆C的方程； （2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标和面积的最大值；若不存在，说明理由． 大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）数学 命题人：黄启光 审题人：李群丽 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分. 第Ⅰ卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5