小专题培优18 辅助圆问题的三大常见模型-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学分层进阶练册（河北专用）

!第六单元!圆! ") !!! 辅助圆问题的三大常见模型 类型 " 定点定长模型 "!如图#在四边形 #%$(中##%0#$0#(# ! $%(0$#"# ! %($0 %#"#则 ! %#(0!!!!! $思路分析% 第 " 题图 !!! 第 $ 题图 #!如图# " #%$和 " #()都是等边三角形#0#/分别为%$#()的 中点##%0.##(0/#在 " #()绕点#旋转的过程中#/0长的最 大值为!!!!! $思路分析% $模型特点% 情形一#动点到定点的距离固 定!如 #是定点!%是动点! #%0B!则点 %在以 #为圆 心!B为半径长的圆上& 情形二#三条共端点的线段相 等!如#%0#$0#(!则点 %! $!(都在以 #为圆心!#%为 半径的圆上! $解题策略% "!利用圆周角定理求角度& $!当圆上的动点/)圆外一定 点0)圆心'三点共线时!/0 的长取得最值%当 /位于中 间时!/0的长取得最小值! 如图 "& ! 当'位于中间时!/0的长取 得最大值!如图 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ! 类型 # 定弦对定角模型 $!如图#在矩形#%$(中##%0-#%$0.#点.在矩形的内部#连接 .##.%#.$#若 ! .%$0 ! .#%#则.$长的最小值是!!!!! $思路分析% 第 % 题图 !!! 第 / 题图 %!如图##%为 % '的直径#且#%0/#点$在半圆上#'$ * #%#垂足 为'#.为半圆上任意一点"不与点$重合##过点.作.) * '$ 于点)#设 " '.)的内心为/#连接'/#./! !""求 ! '/.的度数' $模型特点% 线段固定!且该线段所对的角 度固定!如 #%固定!$为动 点!且 ! #$%0 ! !则点$在以 #%为弦! ! #$%0 ! 为圆周角 的圆上"不与点#!%重合#! $解题策略% "!确定定弦)定角度数% 当 #"5 ! 5&#"时!点 $在优 弧上运动!如图 "& ! 当 ! 0&#"时!点 $在整个圆 上运动!如图 $& 当 &#"5 ! 5"-#"时!点 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 在 !$% ! ! 众相原创!赋能中考!河北数学 !$"当点.在半圆上从点%运动到点#时#求内心/所经过的 路径长! $思路分析%!$" 劣弧上运动!如图 %& $!根据定角的特殊度数找到 圆心& %!画出"隐形#圆!根据题目 条件解决问题 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ! 类型 $ 四点共圆模型 第 ' 题图 &!如图#在四边形 #%$(中# ! %#(0 ! %$(0 &#"# ! #$(0%#"##(0$#)是#$的中点#连 接()#则线段()长度的最小值为!!!!! $思路分析% '!在综合实践课上#老师要求同学用正方形纸片剪出等边三角形 且等边三角形的顶点都在正方形边上!小红利用两张边长为 $ 的正方形纸片#按要求剪出了一个面积最大的等边三角形和 一个面积最小的等边三角形#则这两个等边三角形的边长分别 是!!!!!!!!! $思路分析% $模型特点% 情形一#对角互补的四边形的 四个顶点共圆& 情形二#两个共斜边的直角三 角形的四个顶点共圆!圆心为 斜边的中点! $解题策略% "!共斜边的两个直角三角形! 不管在同侧还是异侧!都能得 到四点共圆!如图& $!根据圆周角定理得到角度 之间的关系!进而求解 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ! "$% 12.B【解析】连接OB,设OA交BC于点E,如解图. 22.54°【解析】如解图，连接0，P,0P,:点P在小量角 ∠ADB=30°，÷∠A0B=60°，OA⊥BC,BC=23, 器上对应的刻度为63°，即∠00P=63°，而0，P= :BE=号BG=3,在R1△BOB中，i∠AOB=B 00,,.∠0，P0,=∠00，P=63°..∠P0,02= 2 OB' 180°-63°-63°=54°，即点P在大量角器上对应的刻 六sin60°=3 33 度为54（只考虑小于90°的角） OB' 2 =0B0B=2,0G=2. 371 0 第22题解图 23.解：(1)：嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶 h C的仰角为14°.，∠CAB=14°，∠CBA=90° 第12题解图 第13题解图 ∴∠C=180°-∠CA