专题04 数轴上的动点问题（专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

专题04 数轴上的动点问题 常考题型·精准突破 题型1 数轴上动点之相遇、相距问题（重） 题型2 数轴上动点之定值问题（高频） 题型3 数轴上动点之三点中点问题（高频） 题型4 数轴上动点之新定义型问题（难） 题型5 数轴上动点之折线数轴问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 数轴上动点之相遇、相距问题 1．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）已知是数轴上三点，点表示的数为，． (1)点表示的数是___，点表示的数是______； (2)动点P、Q分别从同时出发，点P以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P的运动时间为秒． ①用含的代数式表示：点表示的数为______，点表示是数为_______； ②当时，点之间的距离为_______； ③当点之间的距离等于4个单位长度时，求的值． 【答案】(1)，； (2)①，；②7；③2或． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）①根据题意即可列出代数式；②先求出点表示的数，再由数轴上两点之间的距离公式求解即可；③分类讨论，根据数轴上两点之间的距离公式建立方程求解． 【详解】（1）解：∵点在点左边，点表示，， ∴点表示的数，； 又∵点在点右边，， ∴点表示的数为：； （2）解：①点向右运动，点向左运动， ∴点表示的数为，点表示的数为， ②∵点表示的数为，点表示的数为， ∴当时，点表示的数为，点表示的数为， ∴点之间的距离为； ③∵点表示的数为，点表示的数为， 当点在点左边时，，解得2 当点在点左边时，，解得 故的值为2或 2．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）如图，在直线上顺次取A、B、C三点，使得、，，点P从点O出发，以的速度向右匀速运动，点Q从点C出发，向左匀速运动．两点同时出发． (1)在数轴上若点A表示的数是20，则B表示的数是 ，C表示的数是 ； (2)当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度； (3)点Q运动到点O后，立刻以原来2倍的速度返回向右运动，点Q到达C点后，P，Q立即停止运动．若点Q运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距．设运动时间为t秒，请求出t的值． 【答案】(1)80，90 (2)点运动的速度为或 (3)经过或或时间，、两点相距 【分析】本题主要考查数轴，一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想、数形结合思想以及用含字母的代数式表示相关线段的长度成为解答本题的关键. （1）先求得，根据点A表示的数是20，即可求得答案； （2）分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，分别求解即可； （3）分两种情况讨论：①当时，求得点P表示的数为：，点Q表示的数为：，根据P、Q两点相距列式计算即可求解；②当时，点P表示的数为：，点Q表示的数为：，根据P、Q两点相距列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵、， ∴， ∵点A表示的数是20，∴B表示的数是80，C表示的数是90， 故答案为：80，90； （2）解：分两种情况讨论： ①当点在线段上时， ，， ， ， ， 点运动到线段的中点时，， ，， 点运动的速度； ②当点在线段的延长线上时， ，， ， ， ， 点运动到线段的中点时，， ， ， 点运动的速度， 综上，点运动的速度为或； （3）解：分两种情况讨论： ①当时， 点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ， ，两点之间的距离为， ， 当，解得； 当，解得； ②当时， 点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ， ，两点之间的距离为， ， 当，解得； 当，解得（舍）； 综上，经过或或时间，、两点相距． 3．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点运动到点时又立即以原速度向点运动，点不停地以原速度往返于点与点之间．当运动到秒时，动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1) (2) ①秒； ②秒或秒或秒或秒或秒 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）先得到点表示的数，再列式计算即可得到答案； （）①根据问题中的等量关系，正确列出方程，解方程即可； ②根据点与点间的距离为个单位长度，分四种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为， 点表示的数为：， 点运动到线段的中点时，它所表示的数是； （2）①根据题意得， 解得， 当点运动秒时，点追上点； ②点到所用的时间为：（秒）， 当时， 点在点的右侧，点与点之间的距离为个单位长度， 则， 解得：， 点在点的左侧，点与点之间的距离为个单位长度， 则， 解得：， 点从点往点所用时间为（秒）， 当时，， 解得：， （秒）， 当点运动（秒）时，点运动到点， 此时点运动到的点表示的数为， 当时， ， 解得或，均符合范围； 综上所述，点运动秒或秒或秒或秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度． ◆题型2 数轴上动点之定值问题 4．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最小的正整数，且a，c满足． (1)___________，___________，___________； (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动，设后，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．问：为何值时，． (3)若为一个常数使得的值不随的变化而变化，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3 【分析】（1）因为是最小的正整数，且a，c满足，所以，且，据此求出即可； （2）由题意，秒后A的位置表示为，B的位置表示为，C的位置表示为，则，，因为，则，解方程即可； （3），若的值不随的变化而变化，则，求解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵是最小的正整数， ∴． 故答案为：； （2）解：由题意，秒后A的位置表示为，B的位置表示为，C的位置表示为， 则，，， ∵， ∴， ∴或， 解得或； （3）解： ， 若的值不随的变化而变化， 则， 解得：； 5．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如图，线段上有一点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，求运动时间的值； (2)在相遇前，分别取和的中点，的值是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值， 【分析】本题考查了数轴上动点问题以及两点之间的距离、一元一次方程的应用． （）根据点的运动速度和方向，得出，并结合算出，确定运动总时长为秒，然后分“相遇前”和“相遇后”两种情况列方程，即可解答； （）先结合已知的和，推出；再根据分别为中点，得出，进而由算出；接着代入得到，最后将其与代入比值公式化简，约去含的项，得出． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动， ∴， ∵同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动， ∴， ∵， ∴， ∴运动总时长：秒，即， ∵向左运动，向右运动，当点到达点时，、两点同时停止运动， ∴当还未相遇时：， ∵， 则可列出方程， ∴， 当相遇后：， 则可列出方程， 解得， ∵， ∴； （2）解：是定值， ∵， ∴ ， ∵分别为中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 即的值是定值． 6．（25-26七年级上·全国·期末）阅读以下动点材料： ①如图，在数轴上点A、B、C表示的数分别为、1、6，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为． ②若点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点E从B点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点F从C点出发以每秒3个单位长度的速度向右运动．设点D、E、F同时出发，运动时间为t秒， (1)填空： ；点E表示的数为 ；点F表示的数为 ； (2)在点D、E、F的运动过程中，的值是否会发生变化？写出你的猜想并说明理由； (3)在（2）条件下，是否存在的情况，若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)8，， (2)在点D、E、F的运动过程中，的值会发生变化， 理由如下： ∵点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动， ∴当运动时间为t秒时，点D表示的数为， 又∵当运动时间为t秒时，点E表示的数为，点F表示的数为， ∴， ， ∴， ∴在点D、E、F的运动过程中，的值会发生变化； (3)存在，t的值为1或13 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上的动点问题，用含t的式子表示出相关线段的长度是解题的关键． （1）根据点A、B、C表示的数，利用数轴上两点间的距离公式，可求出的长；再根据点的运动速度及方向列代数式即可； （2）利用数轴上两点间的距离公式，可找出，，将其代入中即可得出结论； （3）由题意，先表示出，然后结合，进行分类讨论即可求出t的值． 【详解】（1）解：∵在数轴上点A、C表示的数分别为、6， ∴． ∵点E从B点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点F从C点出发以每秒3个单位长度的速度向右运动， ∴当运动时间为t秒时，点E表示的数为，点F表示的数为． 故答案为：8，，； （2）略 （3）解：存在，当运动时间为t秒时，点D表示的数为，点E表示的数为， ∴，． ∵， ∴， 解得：或， ∴在（2）条件下，存在的情况，t的值为1或13． ◆题型3 数轴上动点之三点中点问题 7．（25-26七年级上·河北唐山·期末），两点在数轴上的位置如图所示，点在点的右侧，其中点对应的有理数为，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度与点同向运动，设运动时间为秒（）． (1)当时，的长是____，点表示的有理数为___； (2)点追上点时，求的值； (3)当时，求的值； (4)当、两点中任意一点成为图中、、、四点组成的任意一段线段的中点时，直接写出所有的值． 【答案】(1)6，2 (2) (3)或 (4)的值为3或4或8． 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）首先求出点对应的有理数为，然后根据题意列方程求解即可； （3）根据列方程求解即可； （4）根据题意分情况讨论，分别根据中点的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（） ∴当时，的长是； ∴点表示的有理数为； （2）解：∵点对应的有理数为， ∴点对应的有理数为 ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴当点追上点时， 解得； （3）解：根据题意得， 解得或； （4）解：∵点对应的有理数为，点对应的有理数为， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P是中点时，， 解得； 当P是中点时，， 解得； 当P是中点时，， 解得； 当Q是中点时，，解得，不符合题意，舍去； 当Q是中点时，，无解； 当Q是中点时，，无解； 综上所述，的值为3或4或8． 8．（25-26七年级上·江西景德镇·期末）【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点，表示的数分别是，． （1）当，分别取下列值时，求，两点间的距离． ，；，；，． （2）用，表示，两点间的距离 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）用，表示，两点之间的距离是____________． 【解决问题】 （2）当表示数的点在与3之间移动时，可以发现的值总是一个固定的值，这个值是___________； （3）如图，已知数轴上有，两点，分别表示的数为，6，点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度从点出发沿数轴向左匀速运动，点，均运动到对方起点后停止（不返回），设运动时间为秒． ①点运动秒后所在位置的点表示的数为____________；点运动秒后所在位置的点表示的数为____________；（用含的式子表示） ②，两点经过多少秒会相距6个单位长度？ ③在点，运动过程中，，，三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）7；（3）①；；②秒或秒；③或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间距离公式，是解题的关键． （1）利用数轴上两点之间的距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值意义进行化简求值即可； （3）①根据点P、Q移动的速度表示出点P、Q表示的数即可； ②由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，构建绝对值方程，再解方程即可； ③分四种情况讨论：当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧时，当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧时，当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间时，当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间时，分别列出方程，再解方程即可． 【详解】解：（1）用，表示，两点之间的距离是； （2）∵表示数的点在与3之间移动， ∴， ∴； （3）①∵点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度从点出发沿数轴向左匀速运动， ∴点运动秒后所在位置的点表示的数为，点运动秒后所在位置的点表示的数为； ②∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距6个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过秒或秒时相距6个单位长度； ③当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧时， 由题意得：， 解得：； 当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧时， 由题意得：， 解得：， 当时，，， ∴当时，点Q在原点右侧，点P在原点左侧，不符合题意； 当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间时， 由题意得， 解得：； 当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间时， 由题意得：， 解得：； 综上所述：，，三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，或或． 9．（25-26七年级上·全国·期末）已知数轴上有、、三点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且、满足，点在数轴上对应的数为，且是方程的解． (1)数轴上点、、表示的数________、________、________； (2)如图1，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，经过多少秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度？ (3)如图2，若动点、两点同时从、出发，向右匀速运动，同时动点从点出发，向左匀速运动，已知点的速度是点的速度的倍，点的速度是点的速度倍少个单位长度/秒．经过秒时，、、三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请求出动点的运动速度． 【答案】(1)，12，4 (2)经过秒或秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度 (3)点的运动速度为个单位长度/秒或个单位长度/秒 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值和平方的非负性、一元一次方程的应用以及中点的性质，熟练掌握用代数式表示数轴上点的位置，结合距离和中点的性质列方程，是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求出、的值，再解方程求出的值． （2）设运动时间为未知数，用含时间的式子表示出、两点的位置，根据两点距离为列绝对值方程求解． （3）设点的运动速度为未知数，用含速度的式子表示出秒后、、三点的位置，分三种情况讨论其中一点为另外两点的中点，列方程求解并检验解的合理性． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ，， 解方程得， ， 故答案为：，，； （2）解：设经过秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度． 由题意得，运动秒后点表示的数为，点表示的数为， 、之间的距离恰好等于， ， ， 或， 解得或， 经过秒或秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度； （3）解：设点的运动速度为个单位长度/秒，则点的运动速度为个单位长度/秒， 点的运动速度为个单位长度/秒，则运动秒后点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为， 当点为，的中点时，则， 解得； 当点为、的中点时，则， 解得； 当点为、的中点时，则， 解得（舍去）； 综上所述，点的运动速度为个单位长度/秒或个单位长度/秒． ◆题型4 数轴上动点之新定义型问题 10．（25-26七年级上·广东深圳·期末）【定义】 点在同一直线上，当点满足或时，则称点是点的“倍点”． 【理解】 （）若点在数轴上表示的数分别为，，，则点是否为点的“倍点”？________（填“是”或“否”） （）如图，点在数轴上对应的数分别为，，点是数轴上的一个动点，从原点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒： ①点对应的数为________；________（请用含的代数式表示）； ②当运动时间为何值时，点恰好是点的“倍点”？请求出符合条件的值． 【拓展】 （）小明和小颖同时从公园入口出发，沿笔直道路骑行至指定点（如图），骑行速度开始均为，间距离为．当骑行至道路上的自助售货机处时，小明停下来买矿泉水，停留后，以的速度继续骑行，最终两人同时到达点．请求出的长度，同时判断自助售货机处是否为点的“倍点”，并说明理由． 【答案】（）是； （）①；；②或； （）自助售货机处是点的“倍点”，理由： 设小明买完水后继续骑行的时间为秒， 由题意得，， 解得， ， ∴， ， ∴自助售货机处是点的“倍点”． 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式求出的长，再根据“倍点”的定义即可判断求解； （）①根据题意及数轴上两点间距离公式解答即可求解；②由题意可得的情况不成立，则，再根据数轴上两点间距离公式列出方程即可求解； （）设小明买完水后继续骑行的时间为秒，可得，解得，再分别求出的长，进而根据“倍点”的定义即可判断求解； 本题考查了数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：（）∵点在数轴上表示的数分别为，，， ∴，， ∴， ∴是点的“倍点”， 故答案为：是；   （）①∵点从原点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为秒， ∴点对应的数为； ∵点在数轴上对应的数为， ∴， 故答案为：；； ②∵点从原点出发向右匀速运动， ∴的情况不成立，则， 即， 解得或； （）略 11．（25-26七年级上·北京延庆·期末）对于数轴上不重合的两点，给出如下规定：若该数轴上存在一点，通过比较线段和的长度，将较短线段的长度称为点到线段的“近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则线段或的长度为点到线段的“近距离” (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为2． ①若点P表示的数是，则点P到线段的“近距离”为___________； ②若点A表示的数为a，点A到线段的“近距离”为3，则a的值为___________； (2)如图2，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2．点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动．设点、运动的时间为秒，当点到线段的“近距离”为2时，直接写出的值． 【答案】(1)①；②或或； (2)或． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）①分别求出和，再根据“近距离”的定义作答即可；②分三种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可； （2）由题意可知，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据点与点和点的位置关系，分四种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为2，点P表示的数是， ，， 点P到线段的“近距离”为， 故答案为： ②当点在点左侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 当点在点、之间时，，， ，点A到线段的“近距离”为3， ， ，， 解得：； 当点在点右侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 综上可知，a的值为或或； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， ①当时，点在点左侧，此时， ， 解得：； ②当时，点在点、之间，且， ， 解得：，不符合题意； ③当时，点在点、之间，且， ， 解得： 此时，不符合题意； ④当时，点在点右侧，此时， ， 解得：， 综上可知，当点到线段的“近距离”为2时，的值为或． 12．（25-26七年级上·北京·期末）在数轴上，如果线段之间依次排列的点，，，…，将线段n等分，则这个点都叫做线段的n等分点．若是靠近A的第1个n等分点，记为，是靠近A的第2个n等分点，记为，…，是靠近A的第个n等分点，记为． (1)小利探究发现： 如图，点A、B表示的数分别为a、b（）， 点为线段上靠近点A的第2个五等分点，则点表示的数为， 点为线段上靠近点B的第1个五等分点，则点表示的数为． 根据小利的探究，若a、b分别为、4，则点表示的数为______，点表示的数为______； (2)数轴上A、B两点表示的数分别为、， ①数轴上C、D两点表示的数分别为、4，若线段的等分点与线段的等分点重合，则x的值为_____； ②点P从A点出发以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从B点出发以每秒4个单位的速度向左移动，点M为线段的中点，记点A与M的距离为，点为线段的等分点，记点B与的距离为，当与相等时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)，2 (2)①3；②和 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、列代数式及一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据等分点公式可直接进行求解； （2）①根据等分点公式列出代数式，再根据两点重合列出方程，再求解即可； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为：再列出方程，最后分类求解即可． 【详解】（1）解：， 线段的长度为． 点是靠近点的第1个六等分点，其表示的数为： 点是靠近点的第2个六等分点，其表示的数为： 所以，点表示的数为，点表示的数为2． 故答案为：，2； （2）解：①由题意可得：线段的长度．线段的长度． 点在线段上，其表示的数为： 点在线段上，其表示的数为： 由两点重合得： 解得： 所以的值为3． 故答案为：3； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为： 点与点的距离为： 点为线段上靠近点的第3个八等分点，其表示的数为： ， 点与点的距离为： 由得： 分三种情况讨论： 1．当时：．代入得：，解得： 2．当时：．代入得：，解得： 3．当时：．代入得：，解得： 但，不满足，舍去． 综上所述，当时，的值为和． ◆题型5 数轴上动点之折线数轴问题 13．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图1，已知数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为，9，15．如果将数轴在原点O和点B处各折一下，就得到一条“折线数轴”，如图2所示．现有一动点P从点A出发，沿着“折线数轴”向右运动，同时，点Q从点C出发，以相同速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P和点Q相遇后，两点改变原来的运动方向，沿原路返回．已知点P和点Q在“折线数轴”的水平方向（，段）运动期间速度为2个单位长度/秒，在上坡段运动时速度变为水平方向速度的一半，在下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，设运动的时间为t秒． (1)点P沿方向上坡的速度为______个单位长度/秒，点Q沿方向下坡的速度为______个单位长度/秒； (2)t为何值时，点P和点Q相遇？ (3)当点P是线段的中点时，求此时t的值． 【答案】(1)1；4 (2) (3)或 【分析】（1）根据在上坡段运动时速度为水平方向速度的一半，得出点P沿方向上坡的速度即可；根据在下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，求出点Q沿方向下坡的速度即可； （2）先根据数轴上两点间距离公式得出，，，再根据点P与点Q在上运动的路程之和为，列出方程，解方程即可； （3）分两种情况：P、Q相遇前，P、Q相遇后，根据列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：点P沿方向上坡的速度为个单位长度/秒；点Q沿方向下坡的速度为个单位长度/秒； （2）解：∵数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为，9，15， ∴，，， 点在上运动时间为：， 点Q在上运动时间为：， 根据题意得：， 解得：； 答：时，点P和点Q相遇； （3）解：点P、Q相遇时，， P、Q相遇前：， 解得：； P、Q相遇后：， 解得：； 综上，点P是线段的中点时，或． 14．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示-8，点表示6，点表示12，我们称点和点在“折线数轴”上相距20个单位长度．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到达终点时停止运动；点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．当点停止运动时，点也随之停止．设点的运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要 秒： (2)当时，点在“折线数轴”上所对应的数是 ，P、Q两点在“折线数轴”上相距 个单位长度： (3)当P、Q两点在“折线数轴”上相遇时，求的值； (4)当O、P两点在“折线数轴”上相距的长度小于B、Q两点在“折线数轴”上相距的长度时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3) (4)或 【分析】（1）计算P从A到C的总时间时，分段计算A到O、O到B、B到C的运动时间，求和即可； （2）求t为定值时P、Q的位置及两点距离，先判断t对应两个动点各自的运动阶段，再分别计算对应坐标，用折线数轴的距离规则计算两点距离； （3）求相遇时间时，判断相遇所在的时间区间，根据该区间内两点的位置表达式列等式求解； （4）求距离小于距离的范围时，分区间写出、的长度表达式，列不等式求解，再合并各区间的解集． 【详解】（1）段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 总时间：秒． （2）对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 距离：； （3）相遇时、路程和为总长，分区间讨论： ①当点在上运动时，且点在上运动，即时， 故无法相遇，舍去； ②当点在上运动时，且点在上运动时，即时， 故无法相遇，舍去； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ∴， 解得； 当时，不再相遇； 故． （4）①当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ②当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ， 解得， ∴； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ④当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴，恒成立， 故； ⑤当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 15．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探究“折线数轴” 素材 如图，将一条数轴在原点、点、点处折一下，得到一条“折线数轴”（原对应关系不变）．图中点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是．在“折线数轴”上，两点之间的“友好距离”定义为这两点表示数之差的绝对值，如：点与点在“折线数轴”上的“友好距离”为：，并表示为，计算距离是沿折线路径累加，而非直线距离．    素材 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍，经过点后立刻恢复初始速度． 素材 在动点运动的同时，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变． 问题解决 (1)探究 与点的“友好距离”等于的点在线段 上．动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探究 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数．（用含的代数式表示） (3)探究 当，两点分别同时从点、点出发，求，两点正好相遇时的时间，并且直接写出此时相遇点在数轴上所表示的数． 【答案】(1)或； (2) (3)，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为 【分析】（1）设该点表示的数为，则，解得或，再结合题意分析即可得出结果；根据速度路程时间，计算即可得出结果； （2）由（1）可得，当点从点出发时，运动时间为秒，由此即可表示出点表示的数； （3）分情况讨论，根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该点表示的数为，则， 解得或， ∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ∴在线段上，在线段上， ∴与点的“友好距离”等于的点在线段或上； ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的， ∴动点从点运动至点需要（秒）； （2）解：∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍， ∴由（1）可得， ∴当点从点出发时，运动时间为秒， ∴点表示的数为； （3）解：当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，会相遇； 由（2）可得点表示的数为， ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变， ∴此时点表示的数为， ∴， 解得， 此时相遇点在数轴上所表示的数为； 当时，点在上运动，点在或或上运动，不会相遇； 综上所述，，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为． 综合攻坚·知能拔高 一、填空题 1．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，点和在数轴上表示的数分别是和，动点从出发，以3个单位每秒的速度沿数轴正半轴运动，同时动点从点出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向原点运动，运动时间为秒，当时，的值为________． 【答案】1或 【分析】动点从出发，以3个单位每秒的速度沿数轴正半轴运动，同时动点从点出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向原点运动，所以点表示的数为，点表示的数为，又，所以，然后求出的值即可． 【详解】解：由题意可知：点表示的数为，点表示的数为， ∵动点从出发，以3个单位每秒的速度沿数轴正半轴运动，同时动点从点出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向原点运动， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∴当或时，． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，．点C在线段上，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），当运动时间为t秒时（），点M到点C的距离与点N到点C的距离相等，则t的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数与数轴，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离等知识点． 由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为或，再分类讨论列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，点则坐标是20，点表示的数为，点表示的数为 ∵点C在线段上，， ∴点C表示的数为或， 当点C表示的数为时， ∵点M到点C的距离与点N到点C的距离相等， ∴， 解得或（舍去）； 当点C表示的数为时， ∵点M到点C的距离与点N到点C的距离相等， ∴， 解得或， ∴t的值为或， 故答案为：或． 二、解答题 3．（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为14，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为t秒． (1)t秒后，点P表示的数是　　　　，点Q表示的数是　　　　； (2)求点P与点Q相遇时t的值及相遇点所表示的数； (3)当t为何值时，点P、Q之间的距离为6个单位长度？ 【答案】(1)； (2)；2 (3)当t为2.8秒或5.2秒时，两点相距6个单位长度 【分析】（1）根据题意即可列出代数式； （2）根据相遇时两点表示的数相等列出方程求解即可； （3）根据数轴上两点间距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，t秒后，点P表示的数是，点Q表示的数是； （2）解：相遇时两点表示的数相等， 则， ， ． 相遇点表示的数为； （3）解：两点的距离． 令， 解得或． 答：当t为2.8秒或5.2秒时，两点相距6个单位长度． 4．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）如图，A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，且，点O为原点，点C在数轴上O，B两点之间，且． (1)直接写出____________，____________，点C所对应的数是____________； (2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒． ①当点P与点Q的距离是5个单位长度时，求t的值； ②若动点Q与动点P相遇后，动点Q立即掉头以原来的速度向右运动，动点P继续以原速向左运动，则在两点相遇前后的整个运动过程中，当t为何值时，满足． 【答案】(1)；9；2 (2)①或；②，，． 【分析】（1）根据绝对值及偶次幂的非负性计算即可得解； （2）①根据题意，表示出点P与点Q表示的数，然后根据线段长度列出绝对值方程求解即可； ②以相遇时刻分段；相遇前两点同时向左；相遇后Q反向，重新写出Q对应的数；利用数轴两点距离公式列出绝对值方程，分段去掉绝对值求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵点O为原点，点C在数轴上O、B两点之间，且， ∴点C所对应的数是2； （2）解：①根据题意得， 经过秒，点P与点Q表示的数分别是和， ∴， 解得或． ②解：运动秒，相遇前，点表示的数：，点表示的数：． 相遇时两点表示的数相等： 解得， 即当时，两点相遇． 将代入，得相遇点对应的数为． 情况1：相遇前，， 点表示数：，点表示数：． 点对应数， 点对应数， ， ． 由，得 当时，，去掉绝对值符号： 解得： 满足，是符合题意的解． 当时，，去掉绝对值符号： 解得：， ，时间不能为负数，舍去． 情况2：相遇后，， 点继续向左运动，对应的数仍为； 点在到达，之后向右运动，速度保持每秒2个单位． 相遇后运动时间为秒，因此点对应的数： ， ，． 由，得： 当时，，去掉绝对值： 解得：， ，满足，是符合题意的解． 当时，，去掉绝对值： 解得：， ，满足范围，是符合题意的解． 综上，满足条件的的值为，，． 5．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）数轴上有，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”，例如数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“关联点”． (1)若点表示数，点表示数，下列各数，，所对应的点分别是，，，其中是点，的“关联点”的是________； (2)点表示数，点表示数，为数轴上一个动点： ①若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，求此时点表示的数； ②若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点表示的数． 【答案】(1) (2)①或或；②或或 【分析】（1）分别求出点和点到所给的这几个点的距离，找出满足题目中“关联点”的定义的点； （2）①设点表示的数是，然后分情况讨论点的位置，写出和的表达式，列式求出的值； ②同上，分情况讨论，依旧是用表示出线段长，列式求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴是点，的“关联点”； ∵，，， ∴不是点，的“关联点”； ∵，，， ∴不是点，的“关联点”； 综上，只有符合要求； （2）解：设点在数轴上表示的数为， ①在点左侧时： （Ⅰ）当点在之间时， 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； （Ⅱ）当点在点左侧时， 由题意可得， ∴， 解得：， 综上，点表示的数为或或； ②点在点右侧时： 当点为点，的“关联点”时， 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 当点为点，的“关联点”时， 当时， ∴， 解得：； 当时， ∴， 解得，不符合在点右侧的条件，舍去； 当点为点，的“关联点”时， 当时， ∴， 解得：； 当时， ∴， 解得，不符合在点右侧的条件，舍去； 综上，点表示的数为或或． 6．（26-27七年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)当点，运动秒时，求点表示的数及，两点之间的距离； (2)点，运动到点所需的时间分别是多少？ (3)我们知道，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 数轴上有理数所对的点到点的距离为，到点的距离为； 若，请你利用数轴，直接写出所有符合条件的整数． 【答案】(1)， (2)点，运动到点所需的时间均为秒 (3)，；这样的整数有，，，，，， 【分析】（1）根据题意表示出点、运动后表示的数，直接计算距离即可． （2）根据题意分别计算出点、运动到点时的距离，根据计算时间公式计算即可． （3）根据题意直接表示出到、的距离即可． 根据题意表示所对的点到与的距离为，直接找出符合条件的整数解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点从点出发，速度单位/秒， ∴秒后位置表示的数， 点从点出发，速度单位/秒， ∴3秒后位置表示数为， ∴点、两点之间距离为， ∴点表示的数为，、两点间距离为． （2）点表示的数为， 点从点出发运动到点即点从运动到， ∴点运动距离为 ， ∵点速度单位/秒 ， ∴点运动时间：秒， 点从点出发运动到点即点从运动到， ∴点运动距离为 ， ∵点速度单位/秒 ， ∴点运动时间：秒， ∴点，运动到点所需的时间均为秒． （3）解：根据题意表示的数为，点表示的数为， ∴所对的点到点的距离为． 所对的点到点的距离为． 若表示所对的点到与的距离为， ∵与的距离之和恰好是， ∴满足条件的， ∴所有符合条件的整数有，，，，，，． 7．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1点，，为数轴上三点，点在，之间且，那么我们就称点是的奇点；点在，之间且，我们就称点是的奇点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为5． (1)数____________所表示的点是的奇点；数____________所表示的点是的奇点； (2)现有一动点在数轴上运动，的最小值为_________． (3)如图3，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为20，现有一动点从点开始出发，以2个单位长度每秒的速度在数轴上向左运动，设运动时间为秒，当为何值时，点，，中恰有一个点为其余两点的奇点？ 【答案】(1)3； (2)8 (3)的值为、、、． 【分析】（1）根据奇点定义进行求解即可； （2）根据点E在M、N之间时，最小，求出结果即可； （3）根据奇点必须在另外两点之间这个前提，分类讨论 6 种情形，排除不可能的情况，列方程求解并检验即可． 【详解】（1）解：∵点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， 设的奇点为P，则， ∴， ∴此时点P表示的数为：， 即数3所表示的点是的奇点； 设的奇点为Q，则， ∴， ∴此时点Q表示的数为：； （2）解：∵点是数轴上的一个动点， ∴当点E在M、N之间时，最小， ∴的最小值为； （3）点所表示的数为，点所表示的数为， ． 动点从点出发，以个单位长度每秒向左运动，秒后点表示的数为，． 奇点定义：奇点必须在另外两点之间．分六种情况讨论： ①当是的奇点时，在之间，且． ， ， 解得． ，解得． 检验：表示的数为，在、之间，符合题意． ②当是的奇点时，在之间，且． ， ， 解得，． ，解得． 检验：表示的数为，在、之间，符合题意． ③当是的奇点时，要求在之间，则要在右侧． 从向左运动，不可能在右侧，故此情况无解． ④当是的奇点时，要求在之间，则要在右侧． 从向左运动，不可能在右侧，故此情况无解． ⑤当是的奇点时，在之间，且． ， ． 在左侧，，即， 解得． 检验：表示的数为，在、之间，符合题意． ⑥当是的奇点时，在之间，且． ， ． 在左侧，，即， 解得． 检验：表示的数为，在、之间，符合题意． 综上，的值为、、、． 8．（25-26七年级上·山西晋中·期末）综合与实践 已知数轴上有A，B，C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解． (1)数轴上点A，B，C表示的数分别为________，________，_________； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当t为何值时，P，Q之间的距离恰好等于8个单位长度？ (3)如图2，若动点P，Q两点同时从A，B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，恰好点Q是其余两点P、R的中点．请直接写出动点R的运动速度． 【答案】(1)，30，10 (2)22秒或18秒 (3)10个单位长度/秒 【分析】（1）由，得，解，得，即可得到答案； （2）由题意易得P表示的数为，Q表示的数为，可得，即可解得答案； （3）设动点R的运动速度为x个单位/秒，经过5秒时，点R表示的数为，点P表示的数为，点Q表示的数为，可得方程，解得． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴ 解得， ∵， ∴， 数轴上点A，B，C表示的数分别为，30，10． 故答案为：，30，10． （2）解：∵动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，设运动时间为t秒， ∴点P表示的数为：，Q表示的数为：， ∴， ∵P，Q之间的距离恰好等于8个单位长度， ∴， ∴, ∴, 当时， ， 当时， ． 故当t为22或18时，P，Q之间的距离恰好等于8个单位长度． （3）解：设点R的速度为x个单位长度/秒， ∵动点P，Q两点同时从A，B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒． 则经过5秒时，点R表示的数为：， 点P表示的数为：， 点Q表示的数为：， ∵经过5秒时，恰好点Q是其余两点P、R的中点． ∴， 解得． 9．（26-27七年级上·山东·期中）【新定义】：、、为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的3倍，我们就称点是【，】的幸运点． 【特例感知】 (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为3．表示2的点到点的距离是3，到点的距离是1，那么点是【，】的幸运点． ①【，】的幸运点表示的数是______； A．；B．0；C．1；D．2 ②试说明是【，】的幸运点． (2)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4． ①【，】的幸运点表示的整数为______； ②若数轴上存在一点，点是【，】的幸运点，点所表示的数为______． 【拓展应用】 (3)如图3，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．直接写出当为何值时，、和三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？ 【答案】(1)①B； ②证明：由数轴可知，，， ， 是【，】的幸运点； (2)①7；②6或2； (3)5或15或或． 【分析】（1）①由题意可知，点0到的距离是到点距离的3倍；②由数轴可知，，，可得； （2）设【，】的幸运点为，表示的数为，由题意可得，求解即可；设点Q表示的数为q，由题意可得，求解即可； （3）由题意可得，，，分四种情况讨论：①当是【，】的幸运点时，②当是【，】的幸运点时，③当是【，】的幸运点时，，④当是【，】的幸运点时，． 【详解】（1）①解：由题意可知，点0到的距离是到点距离的3倍， 即，； ②略； （2）①解：设【，】的幸运点为，表示的数为， ， ， 或， 或， 幸运点表示的数为整数， ∴符合条件的整数为； ②解：设点表示的数为， 点是【，】的幸运点， ， 或， 或2； （3）解：由题意可得，，，， ①当是【，】的幸运点时，， ， ； ②当是【，】的幸运点时，， ， ； ③当是【，】的幸运点时，， ， ； ④当是【，】的幸运点时，， ， ； 为5或15或或时，、、中恰好有一个点为其余两点的幸运点． 10．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）综合与探究： 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究，定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图（1），点为线段的“优点”． ①若，，则__________； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则__________（填“=”或“”）； (2)性质探究 如图（2），在原点为的数轴上有，两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4．若点在点的左侧，且，均为线段的“优点”，求线段的长； (3)在（2）的情况下点，分别从，出发向右运动，点的速度是每秒2个单位，点的速度是每秒1个单位，第几秒点是线段的“优点”？ 【答案】(1)①24；② (2) (3)第秒或2秒时，点是线段的“优点” 【分析】（1）①由即可求解； ②利用“优点”定义求出，与的数量关系即可； （2）根据点M在N左侧，再由“优点”定义求解即可； （3）设第t秒点是线段的“优点”，分两种情况：当时，当时，分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：①∵点C为线段的“优点”，， ∴， ∴； ②如图， ∵点D是线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴，即， 由①得， ∴，即， ∴； （2）解：如图， ∵点表示的数为4， ∴， 当点在点左侧时，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设第t秒点是线段的“优点”，根据题意得：，，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上，第秒或2秒时，点是线段的“优点”． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04数轴上的动点问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1数轴上动点之相遇、相距问题（重） 题型2数轴上动点之定值问题（高频） 题型3数轴上动点之三点中点问题（高频） 题型4数轴上动点之新定义型问题（难） 题型5数轴上动点之折线数轴问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1数轴上动点之相遇、相距问题 1.(25-26七年级上湖南岳阳期末)已知A,B,C是数轴上三点，点B表示的数为4，AB=8,BC=2 B C (I)点A表示的数是一，点C表示的数是 (②)动点P、Q分别从小C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P的运动时间为(>0)秒. ①用含t的代数式表示：点P表示的数为，点Q表示是数为 ②当1=1时，点P卫之间的距离为一： ③当点PQ之间的距离等于4个单位长度时，求t的值. 2.(25-26七年级上·重庆·阶段检测)如图，在直线OM上顺次取A、B、C三点，使得OA=20Cm AB=3A0,BC=10cm,点P从点O出发，以2cm/s的速度向右匀速运动，点O从点C出发，向左匀速 运动.两点同时出发. OA BC M (1)在数轴上若点A表示的数是20，则B表示的数是_，C表示的数是： (2)当PA=3PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点，求点O的运动速度； (3)点Q运动到点O后，立刻以原来2倍的速度返回向右运动，点Q到达C点后，P,立即停止运动.若 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点O运动速度为3cm/s,经过多长时间P、0两点相距l5cm.设运动时间为t秒，请求出t的值. 3.(25-26七年级上四川成都期末)如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一 点，且A,B两间的距离为8，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运 动时间为t秒(1>0) ←QB P 0 A 0 6 (I)点P运动到线段AB的中点时，它所表示的数是 (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.点C在数轴上表示的数为-22， 动点P,Q同时出发 ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q? ②动点PQ运动到点C时则立即返回以原速度向点A运动，动点P运动到点A时又立即以原速度向点C 运动，点P不停地以原速度往返于点C与点A之间.当运动到21秒时，动点P两点同时停止运动，则 点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？ ◆题型2数轴上动点之定值问题 4.(25-26七年级上湖南株洲期末)如图，在数轴上，点A表示的数为a,点B表示的数为b,点C表示 的数为c,b是最小的正整数，且a,c满足a+l+(c-4)=0 A B C (1)a= b= C (2)点A,B,C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每 秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动，设s后，点A与点B之间的距离表示为AB,点A 与点C之间的距离表示为AC,点B与点C之间的距离表示为BC.问：t为何值时，AB=5BC. (3)若m为一个常数使得4AC-m:AB的值不随t的变化而变化，求m的值. 5.(25-26七年级上：四川绵阳期末)如图，线段AB上有一点0,0A=6,OB=3.动点P从点A出发，以 每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，当点 Q到达点A时，P、两点同时停止运动，设运动时间为(>0)秒： B 0 A (1)若PQ=5,求运动时间t的值； OB+AO (2②)在P,Q相遇前，分别取BQ和AP的中点E,F,EF一 的值是否为定值？若是，求出其值：若不是， 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 请说明理由. 6.(25-26七年级上·全国·期末)阅读以下动点材料： ①如图，在数轴上点A、B、C表示的数分别为-2、1、6，点A与点B之间的距离表示为AB,点B与点C 之间的距离表示为BC,点A与点C之间的距离表示为AC, A -5-4-3-2-101234567 ②若点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点E从B点出发以每秒2个单位长度的速度 向右运动，点F从C点出发以每秒3个单位长度的速度向右运动.设点D、E、F同时出发，运动时间为t 秒， (①)填空：AC=_；点E表示的数为；点F表示的数为_： (2)在点D、E、F的运动过程中，EF-DE的值是否会发生变化？写出你的猜想并说明理由： (3)在(2)条件下，是否存在DE=2CE的情况，若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由. ◆题型3数轴上动点之三点中点问题 7.(25-26七年级上河北唐山期末)A,B两点在数轴上的位置如图所示，点B在点A的右侧，其中点 A对应的有理数为4，AB=12.动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同 时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度与点P同向运动，设运动时间为秒(1>0)· A B -4 0 (1)当t=3时，AP的长是一， 点P表示的有理数为一： (2)点P追上点Q时，求t的值； (3)当P2=4时，求t的值： (④当P、O两点中任意一点成为图中A、B、P、Q四点组成的任意一段线段的中点时，直接写出所有t 的值. 8.(25-26七年级上江西景德镇期末)【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点A,B表示的数分别是a,b (1)当a,b分别取下列值时，求A,B两点间的距离. a=3,b=6:a=-3,b=6:a=-3,b=6. (2)用a,b表示A,B两点间的距离 阅读以上内容，回答下面的问题： 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【归纳概括】 (I)用a,b表示A,B两点之间的距离是 【解决问题】 (2)当表示数x的点在-4与3之间移动时，可以发现x+4+x-3引的值总是一个固定的值，这个值是 (3)如图，已知数轴上有A,B两点，分别表示的数为-10,6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A 出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，点P，Q均运动到 对方起点后停止（不返回），设运动时间为秒(t>0) A o B -10 0 6 ①点P运动秒后所在位置的点表示的数为」 点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 (用含t的式子表示) ②P,Q两点经过多少秒会相距6个单位长度？ ③在点P,Q运动过程中，O,P,Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时 t的值. 9.(25-26七年级上全国期末)已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a,点B对应 的数为b,且a、b满足la+20+(b-12=0,点C在数轴上对应的数为c,且c是方程3x-6=x+2的解. P R A C B B 图1 图2 (1)数轴上点A、B、C表示的数a= 6= C= (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发， 以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，经过多少秒时，P、Q之间的距 离恰好等于8个单位长度？ (3)如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动， 已知点P的速度是点R的速度的2倍，点Q的速度是点R的速度3倍少2个单位长度/秒.经过2秒时，P、 Q、R三点恰好有其中一点为其余两点的中点.请求出动点R的运动速度， ◆题型4数轴上动点之新定义型问题 10.(25-26七年级上广东深圳期末)【定义】 4/12 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点M,N,P在同一直线上，当点P满足PM=2PN或PW=2PM时，则称点P是点M,N的“倍点”. 【理解】 (1)若点A,B,P在数轴上表示的数分别为-1,1,3，则点P是否为点AB的“倍点”？ (填“是”或“否”) (2)如图1，点C,D在数轴上对应的数分别为4,5，点P是数轴上的一个动点，从原点O出发，以1 个单位秒的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为秒： ①点P对应的数为 PC= (请用含t的代数式表示)： ②当运动时间t为何值时，点P恰好是点C,D的“倍点”？请求出符合条件的t值. C P- D -4 0 5 图1 E G 图2 【拓展】 (3)小明和小颖同时从公园入口F出发，沿笔直道路骑行至指定点G(如图2)，骑行速度开始均为 5ms,F,G间距离为900m.当骑行至道路上的自助售货机E处时，小明停下来买矿泉水，停留20s后， 以6ms的速度继续骑行，最终两人同时到达G点.请求出EF的长度，同时判断自助售货机E处是否为点 F,G的“倍点”，并说明理由. 11.(25-26七年级上·北京延庆期末)对于数轴上不重合的两点M,N,给出如下规定：若该数轴上存在 一点P,通过比较线段PM和PN的长度，将较短线段的长度称为点P到线段MN的“近距离”.特别地， 若线段PM和PN的长度相等，则线段PM或PN的长度为点P到线段MN的“近距离” M N 9-8-7-6-54-3-2-1012345678> 图1 P M 987642012345678 图2 (1)如图1，点M表示的数为-4，点N表示的数为2. ①若点P表示的数是-2，则点P到线段MN的“近距离”为 ②若点A表示的数为a,点A到线段MN的“近距离”为3，则a的值为 (2)如图2，在数轴上，点P表示的数为6，点M表示的数为-3，点N表示的数为2.点P以每秒2个单 位长度的速度向右运动，同时点N以每秒1个单位长度的速度向左运动.设点P、N运动的时间为 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 t(>0)秒，当点P到线段MN的“近距离”为2时，直接写出t的值。 12.(25-26七年级上北京期末)在数轴上，如果线段AB之间依次排列的点M1,M2,M3,…,M 将AB线段n等分，则这n-1个点都叫做线段AB的n等分点.若M是靠近A的第1个n等分点，记为 A[n,,M2是靠近A的第2个n等分点，记为A[n,2],…,Mn是靠近A的第n-1个n等分点，记为 4[n,n-. (1)小利探究发现： 如图，点A、B表示的数分别为a、b(a<b), A d A[5,2] B[5,1b→ 2(b-a) 点A[5,2]为线段4B上靠近点A的第2个五等分点，则点4[5,2]表示的数为a+ 5 点B5,列为线段4B上靠近点B的第1个五等分点，则点B5,刂表示的数为b- 5 根据小利的探究，若a、b分别为-2、4，则点4[6，刂表示的数为一，点B[6,2]表示的数为 (2)数轴上A、B两点表示的数分别为-10、-2， ①数轴上C、D两点表示的数分别为6、4，若线段AB的等分点A[4,]与线段CD的等分点C[0,x-刂重 合，则x的值为一： ②点P从A点出发以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从B点出发以每秒4个单位的速度向左移动， 点M为线段A0的中点，记点A与M的距离为1，点B[8,3]为线段BP的等分点，记点B与B[8,3]的距离 为2，当与2相等时，请直接写出此时t的值 ◆题型5数轴上动点之折线数轴问题 13.(25-26七年级上广东深圳期末)如图1，已知数轴上的三个点A,B,C表示的数分别为-8,9， 15.如果将数轴在原点O和点B处各折一下，就得到一条“折线数轴”，如图2所示.现有一动点P从点 A出发，沿着“折线数轴”向右运动，同时，点O从点C出发，以相同速度沿着“折线数轴”向左运动， 当点P和点Q相遇后，两点改变原来的运动方向，沿原路返回.已知点P和点Q在“折线数轴”的水平方 向(AO,BC段)运动期间速度为2个单位长度/秒，在OB上坡段运动时速度变为水平方向速度的一半， 在BO下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，设运动的时间为t秒， 6112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 B 图2 B O 备用图 (1)点P沿OB方向上坡的速度为. 个单位长度/秒，点Q沿BO方向下坡的速度为一个单位长度/秒； (2)t为何值时，点P和点Q相遇？ (3)当点P是线段OQ的中点时，求此时t的值 14.(25-26七年级下·吉林长春·期中)如图，将一条数轴在原点0和点B处各折一下，得到一条“折线数 轴”.图中点A表示-8，点B表示6，点C表示12，我们称点A和点C在“折线数轴”上相距20个单位长 度.动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点P到达终点C时停止运动：点P出发的同时，动点Q 从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变 为原来的2倍，之后也立刻恢复原速.当点P停止运动时，点也随之停止.设点P的运动的时间为秒 t>0)」 B 12 A P 8 0 (I)动点P从点A运动至C点需要秒： (2)当(=7时，点P在“折线数轴”上所对应的数是_，P、O两点在“折线数轴”上相距_个单位长度： (3)当P、Q两点在“折线数轴”上相遇时，求（的值： (4)当O、P两点在“折线数轴”上相距的长度小于B、Q两点在“折线数轴”上相距的长度时，直接写出 的取值范围 15.(25-26七年级上·山西吕梁期末)综合与探究 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”， 探究“折线数轴” 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，将一条数轴在原点O、点B、点C处折一下，得到一条“折线数轴”（原对应关系不 变)·图中点A表示的数是-16，点B表示的数是4，点C表示的数是16，点D表示的数是28 在“折线数轴”上，两点之间的“友好距离”定义为这两点表示数之差的绝对值，如：点A 与点D在“折线数轴”上的“友好距离”为：28-(16)=44，并表示为AD=4,计算距离 素材1 是沿折线路径累加，而非直线距离.。 P B 0/4 -16 0 ←Q 16 28 动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动 素材2 到点O与点B之间时，速度变为初始速度的2，当运动到点B与点C之间时，速度变为初始速 度的2倍，经过点C后立刻恢复初始速度. 在动点P运动的同时，动点从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方 素材3 向运动，且经过折点C,，B,O时速度始终保持不变. 问题解决 (1)探究1 与点B的“友好距离”等于5的点在线段上.动点P从点A运动至点B需要多少时间？ (2)探究2 动点P从点A出发，运动秒至点B和点C之间时，求点P表示的数.（用含的代数式表示） (3)探究3 当P,两点分别同时从点A、点D出发，求P,两点正好相遇时的时间，并且直接写出此时相遇点在 数轴上所表示的数 综合攻坚·知能拔高 一、填空题 1.(25-26七年级下·河南南阳阶段检测)如图，点A和B在数轴上表示的数分别是-8和6，动点P从A 出发，以3个单位每秒的速度沿数轴正半轴运动，同时动点Q从点B出发，以1个单位每秒的速度沿数轴 8/12 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 向原点O运动，运动时间为t秒(>0)，当OP=O时，1的值为 A 0 B 8 0 6 2.(25-26七年级上河南郑州期末)如图，已知A,B两点在数轴上，点A表示的数为-10，OB=20A 点C在线段AB上，OC=5,点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度 的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），当运动时间为t秒时(t>O),点M到点C的距离与点 N到点C的距离相等，则t的值为 B -100 二、解答题 3.(26-27七年级上广东汕头阶段检测)如图，数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为14，点P从 点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动：点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速 度沿数轴向左运动.设运动时间为t秒. -6 14 -86-4-20246810121416 A B (1)t秒后，点P表示的数是 ,点Q表示的数是 (2)求点P与点Q相遇时t的值及相遇点所表示的数： (3)当t为何值时，点P、Q之间的距离为6个单位长度？ 4.(26-27七年级上重庆阶段检测)如图，A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b,且 a+3+(b-9)=0,点0为原点，点C在数轴上O,B两点之间，且0C=2. B B 备用图 (1)直接写出a= b= ,点C所对应的数是 (2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点从点B出发，以每秒2个单位长 度的速度向左运动，运动时间为t秒， ①当点P与点的距离是5个单位长度时，求t的值： ②若动点Q与动点P相遇后，动点Q立即掉头以原来的速度向右运动，动点P继续以原速向左运动，则在 两点相遇前后的整个运动过程中，当t为何值时，满足PA=2B0, 5.(26-27七年级上江苏泰州阶段检测)数轴上有A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其 它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”，例如数轴上点A,B, C所表示的数分别为1,3,4，此时点B是点A,C的“关联点”. 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB C -1012345 ()若点A表示数-2，点B表示数1，下列各数-1,2,6所对应的点分别是G,C2,C,其中是点A, B的“关联点”的是 (2)点A表示数-4，点B表示数8，P为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A,B的“关联点”，求此时点P表示的数： ②若点P在点B的右侧，点P,A,B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点 P表示的数 6.(26-27七年级上河南平顶山阶段检测)如图，数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为2，点M 表示的数为8，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时点Q从点B出发以每 秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动.点P与点Q之间的距离表示为PQ,点P与点B之间的距离表示 为PB A →P B M 3210,了9，。 0 (1I)当点P,Q运动3秒时，求点P表示的数及P,Q两点之间的距离： (2)点P,Q运动到点M所需的时间分别是多少？ (3)我们知道，4-(-3列表示4与-3两数在数轴上所对的两点之间的距离. ①数轴上有理数x所对的点到点A的距离为，到点B的距离为： ②若x+4+x-2=6,请你利用数轴，直接写出所有符合条件的整数x. 7.(26-27七年级上湖南长沙阶段检测)如图1点A,B,C为数轴上三点，点C在A,B之间且 CA=3CB,那么我们就称点C是{A,B)的奇点；点D在A,B之间且DB=3DA,我们就称点D是{B,A 的奇点. 如图2，M,N为数轴上两点，点M所表示的数为-3，点N所表示的数为5， AD CB M -65-43-2-101234 -2-101234567→ 图1 图2 (1)数 所表示的点是{M,N}的奇点；数 所表示的点是{N,M}的奇点： (②)现有一动点E在数轴上运动，EM+EN的最小值为. (3)如图3，A,B为数轴上两点，点A所表示的数为60，点B所表示的数为20，现有一动点P从点B开 始出发，以2个单位长度每秒的速度在数轴上向左运动，设运动时间为秒，当为何值时，点P,A,B 中恰有一个点为其余两点的奇点？ 10/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B -60 020 图3 8.(25-26七年级上山西晋中期末)综合与实践 已知数轴上有A,B,C三点，点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b,且a,b满足 2 a+50+(b-30)2=0,点C在数轴上对应的数为x,且x是方程x=三x+6的解】 5 P P R A B B 图1 图2 (I)数轴上点A,B,C表示的数分别为 (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发， 以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P,Q同时出发，设运动时间为t秒，当t为何值时， P,9之间的距离恰好等于8个单位长度？ (3)如图2，若动点P,Q两点同时从A,B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动， 已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒.经过5秒时，恰 好点Q是其余两点P、R的中点.请直接写出动点R的运动速度 9.(26-27七年级上山东·期中)【新定义】：A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B 的距离的3倍，我们就称点C是【A,B】的幸运点 AED CB P←-B -4-3-2-01之有45 -20 0 40 图1 图3 M N P←B -4-3-2-1012345> -20 40 图2 备用图 【特例感知】 (I)如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为3.表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1， 那么点C是【A,B】的幸运点 ①【B,A】的幸运点表示的数是一 A.-1;B.0:C.1;D.2 ②试说明A是【C,E】的幸运点， (2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4. ①【M,N】的幸运点表示的整数为， ②若数轴上存在一点卫，点N是【M,Q】的幸运点，点P所表示的数为 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【拓展应用】 3)如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-20，点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从 点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止.直接写出当为何值时，P、A和B三个点 中恰好有一个点为其余两点的幸运点？ 10.(26-27七年级上陕西咸阳·阶段检测)综合与探究： 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究，定义： 点C在线段AB上，若BC=2AC或AC=2BC,则称点C是线段AB的“优点”，线段AC,BC称作互为 “优点”伴侣线段 Q E F B 10234567> (1) (2) 8f23156> F -101234567) (备用图) (备用图) (1)观察判断 如图(I),点C为线段AB的“优点”， ①若AC=8,AC<BC,则AB= ②若点D也是线段AB的“优点”（不同于点C),则AC BD(填“=”或“≠”)： (2)性质探究 如图(2)，在原点为O的数轴上有E,F两点，其中E点表示的数为1，F点表示的数为4.若点M在点 N的左侧，且M,N均为线段OF的“优点”，求线段MN的长： (3)在(2)的情况下点P,Q分别从O,F出发向右运动，点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每 秒1个单位，第几秒点P是线段OQ的“优点”？ 12/12 专题04 数轴上的动点问题 常考题型·精准突破 题型1 数轴上动点之相遇、相距问题（重） 题型2 数轴上动点之定值问题（高频） 题型3 数轴上动点之三点中点问题（高频） 题型4 数轴上动点之新定义型问题（难） 题型5 数轴上动点之折线数轴问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 数轴上动点之相遇、相距问题 1． 【答案】(1)，； (2)①，；②7；③2或． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）①根据题意即可列出代数式；②先求出点表示的数，再由数轴上两点之间的距离公式求解即可；③分类讨论，根据数轴上两点之间的距离公式建立方程求解． 【详解】（1）解：∵点在点左边，点表示，， ∴点表示的数，； 又∵点在点右边，， ∴点表示的数为：； （2）解：①点向右运动，点向左运动， ∴点表示的数为，点表示的数为， ②∵点表示的数为，点表示的数为， ∴当时，点表示的数为，点表示的数为， ∴点之间的距离为； ③∵点表示的数为，点表示的数为， 当点在点左边时，，解得2 当点在点左边时，，解得 故的值为2或 2． 【答案】(1)80，90 (2)点运动的速度为或 (3)经过或或时间，、两点相距 【分析】本题主要考查数轴，一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想、数形结合思想以及用含字母的代数式表示相关线段的长度成为解答本题的关键. （1）先求得，根据点A表示的数是20，即可求得答案； （2）分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，分别求解即可； （3）分两种情况讨论：①当时，求得点P表示的数为：，点Q表示的数为：，根据P、Q两点相距列式计算即可求解；②当时，点P表示的数为：，点Q表示的数为：，根据P、Q两点相距列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵、， ∴， ∵点A表示的数是20，∴B表示的数是80，C表示的数是90， 故答案为：80，90； （2）解：分两种情况讨论： ①当点在线段上时， ，， ， ， ， 点运动到线段的中点时，， ，， 点运动的速度； ②当点在线段的延长线上时， ，， ， ， ， 点运动到线段的中点时，， ， ， 点运动的速度， 综上，点运动的速度为或； （3）解：分两种情况讨论： ①当时， 点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ， ，两点之间的距离为， ， 当，解得； 当，解得； ②当时， 点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ， ，两点之间的距离为， ， 当，解得； 当，解得（舍）； 综上，经过或或时间，、两点相距． 3． 【答案】(1) (2) ①秒； ②秒或秒或秒或秒或秒 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）先得到点表示的数，再列式计算即可得到答案； （）①根据问题中的等量关系，正确列出方程，解方程即可； ②根据点与点间的距离为个单位长度，分四种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为， 点表示的数为：， 点运动到线段的中点时，它所表示的数是； （2）①根据题意得， 解得， 当点运动秒时，点追上点； ②点到所用的时间为：（秒）， 当时， 点在点的右侧，点与点之间的距离为个单位长度， 则， 解得：， 点在点的左侧，点与点之间的距离为个单位长度， 则， 解得：， 点从点往点所用时间为（秒）， 当时，， 解得：， （秒）， 当点运动（秒）时，点运动到点， 此时点运动到的点表示的数为， 当时， ， 解得或，均符合范围； 综上所述，点运动秒或秒或秒或秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度． ◆题型2 数轴上动点之定值问题 4． 【答案】(1) (2)或 (3)3 【分析】（1）因为是最小的正整数，且a，c满足，所以，且，据此求出即可； （2）由题意，秒后A的位置表示为，B的位置表示为，C的位置表示为，则，，因为，则，解方程即可； （3），若的值不随的变化而变化，则，求解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵是最小的正整数， ∴． 故答案为：； （2）解：由题意，秒后A的位置表示为，B的位置表示为，C的位置表示为， 则，，， ∵， ∴， ∴或， 解得或； （3）解： ， 若的值不随的变化而变化， 则， 解得：； 5． 【答案】(1) (2)是定值， 【分析】本题考查了数轴上动点问题以及两点之间的距离、一元一次方程的应用． （）根据点的运动速度和方向，得出，并结合算出，确定运动总时长为秒，然后分“相遇前”和“相遇后”两种情况列方程，即可解答； （）先结合已知的和，推出；再根据分别为中点，得出，进而由算出；接着代入得到，最后将其与代入比值公式化简，约去含的项，得出． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动， ∴， ∵同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动， ∴， ∵， ∴， ∴运动总时长：秒，即， ∵向左运动，向右运动，当点到达点时，、两点同时停止运动， ∴当还未相遇时：， ∵， 则可列出方程， ∴， 当相遇后：， 则可列出方程， 解得， ∵， ∴； （2）解：是定值， ∵， ∴ ， ∵分别为中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 即的值是定值． 6． 【答案】(1)8，， (2)在点D、E、F的运动过程中，的值会发生变化， 理由如下： ∵点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动， ∴当运动时间为t秒时，点D表示的数为， 又∵当运动时间为t秒时，点E表示的数为，点F表示的数为， ∴， ， ∴， ∴在点D、E、F的运动过程中，的值会发生变化； (3)存在，t的值为1或13 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上的动点问题，用含t的式子表示出相关线段的长度是解题的关键． （1）根据点A、B、C表示的数，利用数轴上两点间的距离公式，可求出的长；再根据点的运动速度及方向列代数式即可； （2）利用数轴上两点间的距离公式，可找出，，将其代入中即可得出结论； （3）由题意，先表示出，然后结合，进行分类讨论即可求出t的值． 【详解】（1）解：∵在数轴上点A、C表示的数分别为、6， ∴． ∵点E从B点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点F从C点出发以每秒3个单位长度的速度向右运动， ∴当运动时间为t秒时，点E表示的数为，点F表示的数为． 故答案为：8，，； （2）略 （3）解：存在，当运动时间为t秒时，点D表示的数为，点E表示的数为， ∴，． ∵， ∴， 解得：或， ∴在（2）条件下，存在的情况，t的值为1或13． ◆题型3 数轴上动点之三点中点问题 7． 【答案】(1)6，2 (2) (3)或 (4)的值为3或4或8． 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）首先求出点对应的有理数为，然后根据题意列方程求解即可； （3）根据列方程求解即可； （4）根据题意分情况讨论，分别根据中点的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（） ∴当时，的长是； ∴点表示的有理数为； （2）解：∵点对应的有理数为， ∴点对应的有理数为 ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴当点追上点时， 解得； （3）解：根据题意得， 解得或； （4）解：∵点对应的有理数为，点对应的有理数为， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P是中点时，， 解得； 当P是中点时，， 解得； 当P是中点时，， 解得； 当Q是中点时，，解得，不符合题意，舍去； 当Q是中点时，，无解； 当Q是中点时，，无解； 综上所述，的值为3或4或8． 8． 【答案】（1）；（2）7；（3）①；；②秒或秒；③或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间距离公式，是解题的关键． （1）利用数轴上两点之间的距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值意义进行化简求值即可； （3）①根据点P、Q移动的速度表示出点P、Q表示的数即可； ②由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，构建绝对值方程，再解方程即可； ③分四种情况讨论：当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧时，当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧时，当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间时，当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间时，分别列出方程，再解方程即可． 【详解】解：（1）用，表示，两点之间的距离是； （2）∵表示数的点在与3之间移动， ∴， ∴； （3）①∵点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度从点出发沿数轴向左匀速运动， ∴点运动秒后所在位置的点表示的数为，点运动秒后所在位置的点表示的数为； ②∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距6个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过秒或秒时相距6个单位长度； ③当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧时， 由题意得：， 解得：； 当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧时， 由题意得：， 解得：， 当时，，， ∴当时，点Q在原点右侧，点P在原点左侧，不符合题意； 当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间时， 由题意得， 解得：； 当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间时， 由题意得：， 解得：； 综上所述：，，三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，或或． 9． 【答案】(1)，12，4 (2)经过秒或秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度 (3)点的运动速度为个单位长度/秒或个单位长度/秒 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值和平方的非负性、一元一次方程的应用以及中点的性质，熟练掌握用代数式表示数轴上点的位置，结合距离和中点的性质列方程，是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求出、的值，再解方程求出的值． （2）设运动时间为未知数，用含时间的式子表示出、两点的位置，根据两点距离为列绝对值方程求解． （3）设点的运动速度为未知数，用含速度的式子表示出秒后、、三点的位置，分三种情况讨论其中一点为另外两点的中点，列方程求解并检验解的合理性． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ，， 解方程得， ， 故答案为：，，； （2）解：设经过秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度． 由题意得，运动秒后点表示的数为，点表示的数为， 、之间的距离恰好等于， ， ， 或， 解得或， 经过秒或秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度； （3）解：设点的运动速度为个单位长度/秒，则点的运动速度为个单位长度/秒， 点的运动速度为个单位长度/秒，则运动秒后点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为， 当点为，的中点时，则， 解得； 当点为、的中点时，则， 解得； 当点为、的中点时，则， 解得（舍去）； 综上所述，点的运动速度为个单位长度/秒或个单位长度/秒． ◆题型4 数轴上动点之新定义型问题 10． 【答案】（）是； （）①；；②或； （）自助售货机处是点的“倍点”，理由： 设小明买完水后继续骑行的时间为秒， 由题意得，， 解得， ， ∴， ， ∴自助售货机处是点的“倍点”． 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式求出的长，再根据“倍点”的定义即可判断求解； （）①根据题意及数轴上两点间距离公式解答即可求解；②由题意可得的情况不成立，则，再根据数轴上两点间距离公式列出方程即可求解； （）设小明买完水后继续骑行的时间为秒，可得，解得，再分别求出的长，进而根据“倍点”的定义即可判断求解； 本题考查了数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：（）∵点在数轴上表示的数分别为，，， ∴，， ∴， ∴是点的“倍点”， 故答案为：是；   （）①∵点从原点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为秒， ∴点对应的数为； ∵点在数轴上对应的数为， ∴， 故答案为：；； ②∵点从原点出发向右匀速运动， ∴的情况不成立，则， 即， 解得或； （）略 11． 【答案】(1)①；②或或； (2)或． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）①分别求出和，再根据“近距离”的定义作答即可；②分三种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可； （2）由题意可知，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据点与点和点的位置关系，分四种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为2，点P表示的数是， ，， 点P到线段的“近距离”为， 故答案为： ②当点在点左侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 当点在点、之间时，，， ，点A到线段的“近距离”为3， ， ，， 解得：； 当点在点右侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 综上可知，a的值为或或； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， ①当时，点在点左侧，此时， ， 解得：； ②当时，点在点、之间，且， ， 解得：，不符合题意； ③当时，点在点、之间，且， ， 解得： 此时，不符合题意； ④当时，点在点右侧，此时， ， 解得：， 综上可知，当点到线段的“近距离”为2时，的值为或． 12． 【答案】(1)，2 (2)①3；②和 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、列代数式及一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据等分点公式可直接进行求解； （2）①根据等分点公式列出代数式，再根据两点重合列出方程，再求解即可； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为：再列出方程，最后分类求解即可． 【详解】（1）解：， 线段的长度为． 点是靠近点的第1个六等分点，其表示的数为： 点是靠近点的第2个六等分点，其表示的数为： 所以，点表示的数为，点表示的数为2． 故答案为：，2； （2）解：①由题意可得：线段的长度．线段的长度． 点在线段上，其表示的数为： 点在线段上，其表示的数为： 由两点重合得： 解得： 所以的值为3． 故答案为：3； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为： 点与点的距离为： 点为线段上靠近点的第3个八等分点，其表示的数为： ， 点与点的距离为： 由得： 分三种情况讨论： 1．当时：．代入得：，解得： 2．当时：．代入得：，解得： 3．当时：．代入得：，解得： 但，不满足，舍去． 综上所述，当时，的值为和． ◆题型5 数轴上动点之折线数轴问题 13． 【答案】(1)1；4 (2) (3)或 【分析】（1）根据在上坡段运动时速度为水平方向速度的一半，得出点P沿方向上坡的速度即可；根据在下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，求出点Q沿方向下坡的速度即可； （2）先根据数轴上两点间距离公式得出，，，再根据点P与点Q在上运动的路程之和为，列出方程，解方程即可； （3）分两种情况：P、Q相遇前，P、Q相遇后，根据列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：点P沿方向上坡的速度为个单位长度/秒；点Q沿方向下坡的速度为个单位长度/秒； （2）解：∵数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为，9，15， ∴，，， 点在上运动时间为：， 点Q在上运动时间为：， 根据题意得：， 解得：； 答：时，点P和点Q相遇； （3）解：点P、Q相遇时，， P、Q相遇前：， 解得：； P、Q相遇后：， 解得：； 综上，点P是线段的中点时，或． 14． 【答案】(1) (2)； (3) (4)或 【分析】（1）计算P从A到C的总时间时，分段计算A到O、O到B、B到C的运动时间，求和即可； （2）求t为定值时P、Q的位置及两点距离，先判断t对应两个动点各自的运动阶段，再分别计算对应坐标，用折线数轴的距离规则计算两点距离； （3）求相遇时间时，判断相遇所在的时间区间，根据该区间内两点的位置表达式列等式求解； （4）求距离小于距离的范围时，分区间写出、的长度表达式，列不等式求解，再合并各区间的解集． 【详解】（1）段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 总时间：秒． （2）对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 距离：； （3）相遇时、路程和为总长，分区间讨论： ①当点在上运动时，且点在上运动，即时， 故无法相遇，舍去； ②当点在上运动时，且点在上运动时，即时， 故无法相遇，舍去； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ∴， 解得； 当时，不再相遇； 故． （4）①当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ②当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ， 解得， ∴； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ④当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴，恒成立， 故； ⑤当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 15． 【答案】(1)或； (2) (3)，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为 【分析】（1）设该点表示的数为，则，解得或，再结合题意分析即可得出结果；根据速度路程时间，计算即可得出结果； （2）由（1）可得，当点从点出发时，运动时间为秒，由此即可表示出点表示的数； （3）分情况讨论，根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该点表示的数为，则， 解得或， ∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ∴在线段上，在线段上， ∴与点的“友好距离”等于的点在线段或上； ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的， ∴动点从点运动至点需要（秒）； （2）解：∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍， ∴由（1）可得， ∴当点从点出发时，运动时间为秒， ∴点表示的数为； （3）解：当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，会相遇； 由（2）可得点表示的数为， ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变， ∴此时点表示的数为， ∴， 解得， 此时相遇点在数轴上所表示的数为； 当时，点在上运动，点在或或上运动，不会相遇； 综上所述，，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为． 综合攻坚·知能拔高 一、填空题 1．1或 2．或 二、解答题 3． 【答案】(1)； (2)；2 (3)当t为2.8秒或5.2秒时，两点相距6个单位长度 【分析】（1）根据题意即可列出代数式； （2）根据相遇时两点表示的数相等列出方程求解即可； （3）根据数轴上两点间距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，t秒后，点P表示的数是，点Q表示的数是； （2）解：相遇时两点表示的数相等， 则， ， ． 相遇点表示的数为； （3）解：两点的距离． 令， 解得或． 答：当t为2.8秒或5.2秒时，两点相距6个单位长度． 4． 【答案】(1)；9；2 (2)①或；②，，． 【分析】（1）根据绝对值及偶次幂的非负性计算即可得解； （2）①根据题意，表示出点P与点Q表示的数，然后根据线段长度列出绝对值方程求解即可； ②以相遇时刻分段；相遇前两点同时向左；相遇后Q反向，重新写出Q对应的数；利用数轴两点距离公式列出绝对值方程，分段去掉绝对值求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵点O为原点，点C在数轴上O、B两点之间，且， ∴点C所对应的数是2； （2）解：①根据题意得， 经过秒，点P与点Q表示的数分别是和， ∴， 解得或． ②解：运动秒，相遇前，点表示的数：，点表示的数：． 相遇时两点表示的数相等： 解得， 即当时，两点相遇． 将代入，得相遇点对应的数为． 情况1：相遇前，， 点表示数：，点表示数：． 点对应数， 点对应数， ， ． 由，得 当时，，去掉绝对值符号： 解得： 满足，是符合题意的解． 当时，，去掉绝对值符号： 解得：， ，时间不能为负数，舍去． 情况2：相遇后，， 点继续向左运动，对应的数仍为； 点在到达，之后向右运动，速度保持每秒2个单位． 相遇后运动时间为秒，因此点对应的数： ， ，． 由，得： 当时，，去掉绝对值： 解得：， ，满足，是符合题意的解． 当时，，去掉绝对值： 解得：， ，满足范围，是符合题意的解． 综上，满足条件的的值为，，． 5． 【答案】(1) (2)①或或；②或或 【分析】（1）分别求出点和点到所给的这几个点的距离，找出满足题目中“关联点”的定义的点； （2）①设点表示的数是，然后分情况讨论点的位置，写出和的表达式，列式求出的值； ②同上，分情况讨论，依旧是用表示出线段长，列式求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴是点，的“关联点”； ∵，，， ∴不是点，的“关联点”； ∵，，， ∴不是点，的“关联点”； 综上，只有符合要求； （2）解：设点在数轴上表示的数为， ①在点左侧时： （Ⅰ）当点在之间时， 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； （Ⅱ）当点在点左侧时， 由题意可得， ∴， 解得：， 综上，点表示的数为或或； ②点在点右侧时： 当点为点，的“关联点”时， 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 当点为点，的“关联点”时， 当时， ∴， 解得：； 当时， ∴， 解得，不符合在点右侧的条件，舍去； 当点为点，的“关联点”时， 当时， ∴， 解得：； 当时， ∴， 解得，不符合在点右侧的条件，舍去； 综上，点表示的数为或或． 6． 【答案】(1)， (2)点，运动到点所需的时间均为秒 (3)，；这样的整数有，，，，，， 【分析】（1）根据题意表示出点、运动后表示的数，直接计算距离即可． （2）根据题意分别计算出点、运动到点时的距离，根据计算时间公式计算即可． （3）根据题意直接表示出到、的距离即可． 根据题意表示所对的点到与的距离为，直接找出符合条件的整数解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点从点出发，速度单位/秒， ∴秒后位置表示的数， 点从点出发，速度单位/秒， ∴3秒后位置表示数为， ∴点、两点之间距离为， ∴点表示的数为，、两点间距离为． （2）点表示的数为， 点从点出发运动到点即点从运动到， ∴点运动距离为 ， ∵点速度单位/秒 ， ∴点运动时间：秒， 点从点出发运动到点即点从运动到， ∴点运动距离为 ， ∵点速度单位/秒 ， ∴点运动时间：秒， ∴点，运动到点所需的时间均为秒． （3）解：根据题意表示的数为，点表示的数为， ∴所对的点到点的距离为． 所对的点到点的距离为． 若表示所对的点到与的距离为， ∵与的距离之和恰好是， ∴满足条件的， ∴所有符合条件的整数有，，，，，，． 7． 【答案】(1)3； (2)8 (3)的值为、、、． 【分析】（1）根据奇点定义进行求解即可； （2）根据点E在M、N之间时，最小，求出结果即可； （3）根据奇点必须在另外两点之间这个前提，分类讨论 6 种情形，排除不可能的情况，列方程求解并检验即可． 【详解】（1）解：∵点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， 设的奇点为P，则， ∴， ∴此时点P表示的数为：， 即数3所表示的点是的奇点； 设的奇点为Q，则， ∴， ∴此时点Q表示的数为：； （2）解：∵点是数轴上的一个动点， ∴当点E在M、N之间时，最小， ∴的最小值为； （3）点所表示的数为，点所表示的数为， ． 动点从点出发，以个单位长度每秒向左运动，秒后点表示的数为，． 奇点定义：奇点必须在另外两点之间．分六种情况讨论： ①当是的奇点时，在之间，且． ， ， 解得． ，解得． 检验：表示的数为，在、之间，符合题意． ②当是的奇点时，在之间，且． ， ， 解得，． ，解得． 检验：表示的数为，在、之间，符合题意． ③当是的奇点时，要求在之间，则要在右侧． 从向左运动，不可能在右侧，故此情况无解． ④当是的奇点时，要求在之间，则要在右侧． 从向左运动，不可能在右侧，故此情况无解． ⑤当是的奇点时，在之间，且． ， ． 在左侧，，即， 解得． 检验：表示的数为，在、之间，符合题意． ⑥当是的奇点时，在之间，且． ， ． 在左侧，，即， 解得． 检验：表示的数为，在、之间，符合题意． 综上，的值为、、、． 8． 【答案】(1)，30，10 (2)22秒或18秒 (3)10个单位长度/秒 【分析】（1）由，得，解，得，即可得到答案； （2）由题意易得P表示的数为，Q表示的数为，可得，即可解得答案； （3）设动点R的运动速度为x个单位/秒，经过5秒时，点R表示的数为，点P表示的数为，点Q表示的数为，可得方程，解得． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴ 解得， ∵， ∴， 数轴上点A，B，C表示的数分别为，30，10． 故答案为：，30，10． （2）解：∵动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，设运动时间为t秒， ∴点P表示的数为：，Q表示的数为：， ∴， ∵P，Q之间的距离恰好等于8个单位长度， ∴， ∴, ∴, 当时， ， 当时， ． 故当t为22或18时，P，Q之间的距离恰好等于8个单位长度． （3）解：设点R的速度为x个单位长度/秒， ∵动点P，Q两点同时从A，B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒． 则经过5秒时，点R表示的数为：， 点P表示的数为：， 点Q表示的数为：， ∵经过5秒时，恰好点Q是其余两点P、R的中点． ∴， 解得． 9． 【答案】(1)①B； ②证明：由数轴可知，，， ， 是【，】的幸运点； (2)①7；②6或2； (3)5或15或或． 【分析】（1）①由题意可知，点0到的距离是到点距离的3倍；②由数轴可知，，，可得； （2）设【，】的幸运点为，表示的数为，由题意可得，求解即可；设点Q表示的数为q，由题意可得，求解即可； （3）由题意可得，，，分四种情况讨论：①当是【，】的幸运点时，②当是【，】的幸运点时，③当是【，】的幸运点时，，④当是【，】的幸运点时，． 【详解】（1）①解：由题意可知，点0到的距离是到点距离的3倍， 即，； ②略； （2）①解：设【，】的幸运点为，表示的数为， ， ， 或， 或， 幸运点表示的数为整数， ∴符合条件的整数为； ②解：设点表示的数为， 点是【，】的幸运点， ， 或， 或2； （3）解：由题意可得，，，， ①当是【，】的幸运点时，， ， ； ②当是【，】的幸运点时，， ， ； ③当是【，】的幸运点时，， ， ； ④当是【，】的幸运点时，， ， ； 为5或15或或时，、、中恰好有一个点为其余两点的幸运点． 10． 【答案】(1)①24；② (2) (3)第秒或2秒时，点是线段的“优点” 【分析】（1）①由即可求解； ②利用“优点”定义求出，与的数量关系即可； （2）根据点M在N左侧，再由“优点”定义求解即可； （3）设第t秒点是线段的“优点”，分两种情况：当时，当时，分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：①∵点C为线段的“优点”，， ∴， ∴； ②如图， ∵点D是线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴，即， 由①得， ∴，即， ∴； （2）解：如图， ∵点表示的数为4， ∴， 当点在点左侧时，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设第t秒点是线段的“优点”，根据题意得：，，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上，第秒或2秒时，点是线段的“优点”． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $