小专题培优17 特殊四边形综合-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学分层进阶练册（河北专用）

!第五单元!四边形! "( !!! 特殊四边形综合 !!!! !"# 年 "# 考"$#$$!$.$ !!!!!!!!!!!!!!!!"!!$#$% 唐山模拟"已知(在正方形 #%$(中#) 为对角线 %(上一点#过点 )作 )* * %(#交 %$于点 *#连接 (*#1为 (*的中点#连接 )1#$1! $猜想论证% !""猜想线段 )1与 $1的数量关系#并加以 证明! $拓展探究% !$"将图 " 中 " %)*绕%点逆时针旋转 /'"得 到图 $#取 (*的中点 1#连接 )1#$1!你在 !""中得到的结论还成立吗) 写出你的猜想 并加以证明! 图 " !! 图 $ 第 " 题图 #!!$#$% 衡水模拟"如图#在菱形#%$(中##%0 /# ! #%$0.#"#将 " %$(沿菱形 #%$(的对 角线%(由点%向点(方向平移得到 " )*1# 连接#)#(*! !""求证(#)0(*' !$"若四边形#)*(是矩形#求%)的长' !%"当 " #()的外心在该三角形内部时#直接 ## 写出%)的取值范围! 第 $ 题图 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ %$% ! ! 众相原创!赋能中考!河北数学 $! 如图#在 ( #%$(中# ! #0.#"##%0 . 9:#连接 %(#恰有 ! #%(0&#"#过点 (作 () * %$于点)!动点 .从点 (出发沿 (#以 " 9:A@的速度向终点 #运动#同时点 <从点 %出发#以 / 9:A@的速度沿射线 %$运动#当 点.到达终点时#点<也随之停止运动#设点 .运动的时间为=@! !""分别求%(和%)的长度' !$"连接.<#当=0 & ' 时#判断 .<与 #(是否 垂直#并说明理由' !%"试判断是否存在=的值#使得以.#<#$#( 为顶点的四边形为平行四边形) 若存在#求 出=的值'若不存在#请说明理由! 第 % 题图 %!数学课上#刘老师给出这样一个问题( 已知#如图#在正方形#%$(中#点)是$(边 上一点#作射线 %)#过点 (作 (* * %)于点 *#交%$的延长线于点1#连接$*!求证(%*8 (* 槡0$$*! !""嘉嘉和淇淇根据题中的条件发现(图 " 中 存在和 ! )%$相等的角#即!!!!' !$"在证明结论时#嘉嘉和淇淇有了不同的 思路! 淇淇#我受结论中'%*8(*(的启发!可在线 段%*上截取%20(*!再证2* 槡0$$*$! 嘉嘉#我受结论中'槡$$*(的启发!可构造一个 以$*为直角边的等腰直角三角形$! 请从嘉嘉和淇淇的思路中任选一种作出辅助 线并给出证明' !%"刘老师对问题进行了拓展(如图 $#/#0 分别是线段%)#(1的中点#若#%0%#()0"#则 /0的长度为!!!!! 图 " !! 图 $ 第 / $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 题图 &$% DQ:(3)当BD不平分∠PBQ时，AB∥CQ,∴.∠ABQ= (2)PQ⊥AD.理由如下：如 PD ∠CQB,:∠QBD+∠DBP=∠QBD+∠ABQ=45°， 解图， .∠DBP=∠ABQ=∠COB,.∠BDQ=∠ADQ+ ∠ADB=90°+45°=135°，∠BDP=∠CDP+∠BDC= 由题意得，当1=号时。 OK C 90°+45°=135°，∴.∠BDQ=∠BDP,△BQD PD=9 第3题解图 △P9D0品Pm0m=D=(3=1 小专题培优17特殊四边形综合 0他=BE-0=9-曾号m)m, ,AD∥BC,·四边形DEOP是平行四边形 1.解：(I)EG=CG DE⊥BC,.四边形DEQP是矩形，PQ⊥AD. 证明如下：四边形ABCD是正方形，∴.∠DCF=90 (3)存在， 在R△PCD中，C为DF的中点CG=DF, 当CD为边时，：四边形PQCD是平行四边形， 同理，在m△DEF中，G=之DFCG=EG PD=CQ1=l2-41= 59 (2)(1)中结论仍然成立，即EG=CG 当CD为对角线时，四边形PCOD是平行四边形. 证明如下：如解图，连接AG,过点G ∴.PD=CQ,∴.1=4-12，，1=4. 作MN⊥AD于点M,与EF的延长 综上所述的值为号或4 线交于