第一节 圆的相关概念与性质-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学精讲册（河北专用）

!!! ! 第六单元/圆 众相原创!河北数学 第一节!圆的相关概念与性质 一阶! 教材知识全梳理 知识点 ! 圆的相关概念与基本性质!"# 年 $ 考"$#$$!$3!$#$$#$"!"&# !!相关概念 定义 示例 圆 弦 弧 圆心角 圆周角 在一个平面内!线段)"绕它固定的一个端点)旋转一 周!另一个端点"所形成的图形叫做圆!其固定的端点 )是 ! !!!! !线段)"是 " !!!! 连接圆上任意两点的线段叫做弦 经过圆心的弦叫做 # !!!! 连接圆上任意两点间的部分叫做圆弧!简称弧!以 "!# 为端点的弧记作 ) "# 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧!每一条 弧叫做半圆 大于半圆的弧叫做 $ !!!!$用三个点表示%# 小于半圆的弧叫做 % !!!! 在 & !!!!圆或 ' !!!!圆中!能够完全 ( !!!! 的弧叫做等弧 顶点在 ) !!!!的角叫做圆心角 顶点在 * !!!!!并且两边都与圆 +,- !!!! 的角 叫做圆周角 如图!点 "! #! $! -均在 ( )上! 则图中的弦有$-!#-# 半径有 +,0 !!!!!!# 直径有 +,1 !!!!# 优弧有 +,2 !!!!!!!!# 劣弧有 +,3 !!!!!! !# 圆心角有 +,4 !!!!!!# 圆周角有 +,5 !!!! "!基本性质 对称性 既是轴对称图形!又是中心对称图形!过 +,6 !!!!的任意一条直线都是它的对称轴! +,7 !!!!是它的对称中心 旋转不变性 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合 #!圆的确定&$"%由圆心和半径可以确定一个圆# $$%不在同一条直线上的三个点确定一个圆! 知识点 " 弧#弦#圆心角之间的关系 内容 数学表达 定理 在同圆或等圆中!相等的圆心角所对的 弧 +89 !!!!!所对的弦也 +8- !!!! 推论 ! 在同圆或等圆中!如果两条弧相等!那么 它们所对的圆心角 +80 !!!!!所对的 弦 +81 !!!! 推论 " 在同圆或等圆中!如果两条弦相等!那么 它们所对的圆心角 +82 !!!!!所对的 弧 +83 !!!! 在同圆或等圆中!有以下 三个结论" "!圆心角相等" " ")#) " ":)#:# $!弧相等" ) "#) ) ":#:# %!弦相等""#)":#:! 只要满足其中一个!另外两个一定成立!即 *知一求二+ )' 众相原创!河北数学 !特别提醒"$"#在运用定理)推论时"一定要有% ----- 同圆或等圆&的前提条件!若给出等弧"即是 确定了在同圆或等圆中"而等弦和长度相等的弧不一定是在同圆或等圆中($$#在同圆或等圆 中"若 ) "#)$ ) ":#:"则 " ")#)$ " ":)#:成立"但"#)$":#:不一定成立! 知识点 # 圆周角定理及其推论!"# 年 % 考"$#$"!$3!$## 内容 示例 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的 +84 !!!! 推论 ! 同弧或等弧所对的圆周角 +85 !!!! 推论 " 半圆$或直径#所对的圆周角是 +86 !!!!! *#%的圆周角所对的弦是 +87 !!!! 如图!"#是 ( )的直 径!$!-在 ( )上!则" " "#$) +:9 !!! ) +:- ! ! ! ! " ")$! " "$#) +:0 !!!! !特别提醒"$"#一条弦对应两条弧"这两条弧所对的圆周角互补!当已知弦"求其对应的圆周 角度数时"若未画出图形"则需要分类讨论$分圆周角顶点在优弧和劣弧上两种情况#($$#一 条弧只对应一个圆心角"却对应无数个圆周角! 知识点 % 垂径定理及其推论!"# 年 3 考"$#$%!$3$$#$$!$3!$#$$#$"!"&# 内容 数学表达 定理 垂直于弦的直径 +:1 !!!!弦!并且 +:2 !!!!弦所对的两条弧 推论 平分弦$不是直径%的直径 +:3 !!!于 弦!并且 +:4 !!!弦所对的两条弧 如图!有以下五个结论" $"% ) "-) ) #-#$$% ) "$) ) #$# $%%"5) +:5 !!!# $3%"# # $-# $<%$-是直径! 只要满足其中两个!另外三个一定成立!即*知 二求三+ !特别提醒"使用垂径定理的推论时"要注意%弦$不是直径#&这个条件"因为所有的直径都互 相平分"但互相平分的直径不一定互相垂直! 知识点 & 圆内接四边形的性质!"# 年 " 考# 概念 四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆 内接四边形 图示" 性质 $"%圆内接四边形的对角 +:6 !!!!# $$%圆内接四边形的任意一个外角等于和 它相邻的内角的对角 " "1 " #$-) +:7 !!!!! " #1 " -) +;9 !!!!! " -$.) +;- !!!!