第五节 相似三角形(含位似)-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学精讲册（河北专用）

众相原创!河北数学 第五节!相似三角形!含位似" 一阶! 教材知识全梳理 知识点 " 比例的性质和成比例线段 "!比例的性质 基本性质 ""#若 # $ + ( ) (则 #) +$($ "%#若 #) +$("#($((()都不为 ##(则 # $ + ! !!!! 等比性质 若 # $ + ( ) +) + * ' "$0) 0) 0' ' ##(则 # 0(0) 0* $0) 0) 0' + # $ 合比性质 若 # $ + ( ) (则 # 0$ $ + (0) ) ( # /$ $ + (/) ) #!成比例线段 对于四条线段 #($((()(如果其中两条线段的比"即它们长度的比#与另两条线段的比相等(如 # $ + ( ) "即 #) +$(#(我们就说这四条线段成比例! $!黄金分割 如图(点+把线段%&分成两条线段%+和&+(且 %+ %& + &+ %+ (那么就说线段%&被点+黄金分割( 点+叫做线段%&的黄金分割点(%+与%&的比叫黄金比(即 %+ %& + 槡. /" % & #!*"1! 知识点 # 平行线分线段成比例!"# 年 " 考#%#%"!%*" 内容 几何表述 基本事实 两条直线被一组平行线所截( 所得的对应线段成比例 如图(> " 0 > % 0 > & ( 则 %& &+ + 87 7@ ( %& %+ + 87 8@ ( &+ %+ + " !!!! 推论 平行于三角形一边的直线截其 他两边"或两边的延长线#(所 得的对应线段成比例 如图(87 0 &+( 则 %8 8& + %7 7+ ( %8 %& + # !!!! 知识点 $ 相似三角形的性质与判定!"#年 ""考#%#%&!%*$%#%%!"1!%"$%#%%!%*!%"$%#%"!1$%#%"!%*" 性质 相似三角形的对应角 % !!!!(对应边 & !!!!$ 相似三角形对应高的比!对应中线的比与对应角平分线的比都等于 ' !!!!$ 相似三角形的周长比等于 ( !!!!(面积比等于 ) !!!!!!!! (% 众相原创!河北数学 续表 判定 方法 图示 几何表述 平行于三角形一边的直线和其他 两边相交(所构成的三角形与原三 角形相似 ! H87 0 &+( D 2 %87 52 %&+ 三边 * !!!!的两个三角形 相似 H %& %?&? + &+ &?+? + %+ %?+? ( D 2 %&+ 52 %?&?+? 两边成比例且 + !!!!相等的 两个三角形相似 H %& %?&? + &+ &?+? ( 3 &+ 3 &?( D 2 %&+ 52 %?&?+? 两角分别 ,-. !!!!的两个三角 形相似 H 3 %+ 3 %?( 3 &+ 3 &?( D 2 %&+ 52 %?&?+? !技巧点拨"相似三角形的判定思路" #"$有平行截线 )* 找 用平行线的性质找等角& #%$有一对等角 )* 找 另一对等角% 该角的两边成比例{ &#&$有两边成比例 )*找 夹角相等% 第三边也对应成比例% 一对直角 { & #$$有两个直角三角形 )* 找 斜边和一条直角边成比例% 一对锐角相等% 两组直角边成比例 { ! 知识点 % 相似多边形!"# 年 " 考" 概念 两个边数相同的多边形(如果它们的角分别相等(边成比例(那么这两个多边形叫做相 似多边形!相似多边形对应边的比叫做相似比 性质 ""#相似多边形的对应角 ,-/ !!!! (对应边 ,-0 !!!!$ "%#相似多边形的周长比等于 ,-1 !!!!(面积比等于 ,-2 !!!!!!!! 知识点 & 位似!"# 年 " 考" 概念 如图(如果一个图形上的点%(&()(6()和另一个图形上的点%?( &?()(6?()分别对应(并且它们的连线 %%?(&&?()(66?()都经 过同一点3( 3%? 3% + 3&? 3& +) + 36? 36 +)(那么这两个图形叫做位似 图形(点3是位似中心 性质 ""#位似图形是相似图形(具有相似图形的所有性质$ "%#对应点的连线所在直线都经过同一点$ "&#对应边互相平行或在同一条直线上$ "$#位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ,-3 !!!!!$ ".#在平面直角坐标系中(如果以原点为位似中心(画一个与原图形位似的图形(使它与 原图形的相似比为=(那么原图形上的点"-(/#对应的位似图形上的点的坐标为 ,-4 !!!! "注意"有两种情况# !特别提醒"位似必相似%相似不一定位似! )% 众相原创!河北数学 二阶! 随堂必练经典题 "!若 # $ + % & (则下列式子成立的是!!!!!"填序号# ! %# +&$$ " # % + $ & $ # $+ % & #$ % $ #