第三节 等腰三角形和直角三角形-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学精讲册（河北专用）

众相原创!河北数学 第三节!等腰三角形和直角三角形 一阶! 教材知识全梳理 知识点 " 等腰三角形的性质与判定!"# 年 : 考#%#%&!.$%#%&!"&$%#%%!%*" 定义 有两边相等的三角形是等腰三角形 性质 ""#两腰 ! !!!!(如图(%&+%+$ "%#两个底角 " !!!!"简记为(等边对等角)#(如图( 3 &+ 3 +$ "&#顶角平分线!底边上的中线!底边上的 # !!!!相互重合"简记 为(三线合一)#$ "$#是轴对称图形(有 " 条对称轴(对称轴是底边上的高所在的直线 判定 ""#有两边相等的三角形是等腰三角形"定义#$ "%#有两个角相等的三角形是等腰三角形"简记为(等角对等边)# 面积公式 5 + " % #A"其中 #为底边长%A为底边上的高# !特别提醒""!等腰三角形中的分类讨论"#"$当顶角和底角不确定时%需要分类讨论&#%$当腰长和 底边长不确定时%需要分类讨论%且需要用三角形三边关系检验! %!等腰三角形的(三线合一)是一条重要性质%在证明和计算中%往往作为辅助线%需灵活 添加! 知识点 # 等边三角形的性质与判定!"# 年 $ 考#%#%&!".$%#%"!%*" 性质 ""#三条边 % !!!!(如图(%&+%++&+$ "%#三个内角 & !!!!(并且每个内角都等于 ' !!!!(如图( 3 %+ 3 &+ 3 ++*#"$ "&#是 ( !!!!对称图形(有 ) !!!!条对称轴(对称轴是三边上 的高所在的直线 判定 ""#三条边都相等的三角形是等边三角形"定义#$ "%#三个角都相等的三角形是等边三角形$ "&#有一个角是 * !!!!的等腰三角形是等边三角形 面积公式 5 + " % #A + 槡& $ # % "其中 #为三角形的边长%A为任意一边上的高# "% 众相原创!河北数学 知识点 $ 直角三角形的性质与判定 !"# 年 %& 考#%#%&!""$%#%&!%$$%#%&!%*$%#%%!"1$%#%%!%*$ %#%"!"#$%#%"!%*" 性质 ""#两锐角之和等于 + !!!!(如图( 3 %0 3 &+ ,-. !!!!$ "%#斜边上的中线等于斜边的 ,-/ !!!!(如图(若 +8是斜边上的中线( 则+8+ ,-0 !!!! %&$ "&#&#"角所对的直角边等于斜边的 ,-1 !!!!!!!(如图(若 3 %+&#"( 则&++ ,-2 !!!!%&$ "$#勾股定理%如果直角三角形的两条直角边长分别为 #($(斜边长为((那么 ,-3 !!!!!! !知识拓展"在直角三角形中%若一条直角边等于斜边的一半%则这条直角边所对的角等 于 &#"#选填题可直接用结论%解答题应用时需先证明$ 判定 ""#有一个角等于 ,-4 !!!!的三角形是直角三角形"定义#$ "%#有两个角 ,-5 !!!!的三角形是直角三角形$ "&#勾股定理的逆定理%如果三角形的三边长分别为 #($(((且满足 #% 0$% +(%(那么这 个三角形是直角三角形! !知识拓展"某边上的中线等于该边的一半的三角形是直角三角形 面积公式 5 + " % #$+ " % (A"其中 #%$为两直角边长%(为斜边长%A 为斜边上的 高#! !特别提醒"通常用等面积法求直角三角形的边长或高 !特别提醒"#"$已知直角三角形的两边长%求第三边长%若没有明确直角边和斜边时%要分类 讨论&#%$已知三角形为直角三角形%当未明确直角顶点时%需分类讨论! !知识拓展" "!勾股定理的拓展应用"如图 "%%%&%若直角三角形的三边长分别记为 #%$%(%分别以三条边 为边向外作等边三角形*正方形*半圆%则有 5 " 05 % +5 & & 图 " !!! 图 % !!! 图 & #!用直角三角形和正方形可以拼成各种图形"#记直角三角形的三边长分别为 #%$%($ #"$赵爽弦图"如图 $%5大正方形 +5小正方形 0$5直角三角形& 图 $ !!! 图 . !!! 图 * #%$毕达哥拉斯拼图"如图 .%5左图大正方形 +5右图大正方形& #&$伽菲尔德总统拼图"如图 *%5梯形 +%5小直角三角形 05大等腰直角三角形! #% 众相原创!河北数学 知识点 % 等腰直角三角形的性质与判定!"# 年 $ 考#%#%%!"*" 性质 ""#两条直角边 ,-6 !!!!(如图(%++&+$ "%#两个底角 ,78 !!!!(且都等于 ,7. !!!!(如图( 3 %+ 3 &+$." 判定 ""#有一个角等于 ,7/ !!!!的等腰三角形是等腰直角三角形$ "%#底角等于 ,70 !!!!的等腰三角形是等腰直角三角形$ "&#有两个角等于 ,71 !!!!的三角形是等腰直角三角形$ "$#有