第二节 三角形及其基本性质-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学精讲册（河北专用）

众相原创!河北数学 第二节!三角形及其基本性质 一阶! 教材知识全梳理 知识点 " 三角形的分类 "!按边分 三角形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 ! {{ !!!!!! #!按角分 三角形 锐角三角形"三个角都小于 2#"# " !!!!"有一个角是 # !!!!# 钝角三角形"有一个角大于 % !!!! { # 知识点 # 三角形的基本性质 !"# 年 %# 考#%#%&!.$%#%&!2$%#%&!".$%#%%!""$%#%%!"&$%#%%!"*$%#%"!"%$ %#%"!"&$%#%"!"1" 稳定性 三角形的稳定性是其特有的性质(只要三角形的三边长度固定(其形状和大小就固定 不变 三边关系 三角形两边之和 & !!!!第三边$ 三角形两边之差 ' !!!!第三边! !特别提醒"判断三条边##%$%($能否构成三角形%只需 要比较两条短边##%$$的和与差同第三条边#($的大 小"若 # 0$5(54# /$4%则能构成三角形&否则不能构 成三角形 内角和定理 三角形三个内角的和等于 ( !!!! 内外角关系 三角形的一个外角 ) !!!!与它 * !!!!的两个 内角的 + !!!! 三角形的一个外角 ,-. !!!!任意一个与它不相邻的 内角 边$角关系 在同一个三角形中(等边对等角(大边对大角(小边对 小角 数学表达#如图( 则 # 0$ ,-/ !!!!($ # /$ ,-0 !!!!($ 3 %0 3 &0 3 %+&+ !$ 3 " + 3 %0 ,-2 !!!!$ 3 " 5 3 %( 3 " 5 3 &$ 3 %5 3 %+&5 3 & " # 5( 5$ 面积公式 如图 "(5 + " % #A"其中 #为底边长%A为底边上的高#! !知识拓展"同底#等底$等高#同高$的三角形面积相 等%如图 %%A " +A % %则 5 2 %&+ +5 2 %&8 ! ! *% 众相原创!河北数学 知识点 $ 三角形中的重要线段!"# 年 * 考#%#%%!%" 重要线段 图示 性质 高 ""#%8 1 &+( 3 %8&+ 3 %8++ ,-3 !!!!$ "%#锐角三角形的高都在三角形内部$直角三角形其中两条高恰好是直角 边(另一条高在三角形内部$钝角三角形其中两条高在三角形 ,-4 !!!!( 另一条高在三角形内部! !特别提醒"在解与高有关的题目时%若未指明三角形的形状%也无图 示%通常需要分类讨论! !知识拓展"三角形的垂心是三角形三条高线所在直线的交点 中线 &8++8+ ,-5 !!!!&+$ 5 2 %&8 +5 2 %+8 + ,-6 !!!!5 2 %&+ ! !知识拓展"三角形的重心是三角形三条中线的交点%它到三角形顶点 的距离等于它到该顶点对边中点的距离的 % 倍 角平分线 ""# 3 &%8+ 3 +%8+ ,78 !!!! 3 &%+$ "%#三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心$三角形的内心到三 角形三边的距离 ,7. !!!!(是三角形内切圆的圆心! !对比学习"三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点%到三 角形三个顶点的距离相等%是三角形外接圆的圆心 中位线 7@ 0 &+(7@+ ,7/ !!!!&+! !特别提醒"解题时遇到中点%通常构造中位线!特别地%在平行四边形 中%当边上有中点时%通常连接中点和对角线的交点%即为中位线 二阶! 随堂必练经典题 源于人教八上;1 第 $ 题如图(在锐角三角形%&+中(&+边上有7(8(@三点(&8++8( 3 &%7+ 3 8%7(%@ 1 &+(垂足为@! 题图 ""#若%&+%(&++&(则%+的长的取值范围是!!!!!!!$ "%#若 3 &+.#"( 3 ++$."(则% !3 &%++!!!!"$ "3 +%@+!!!!"$ # 若 3 8%@+"#"(则 3 &%7+!!!!!!"( 3 %78+!!!!!!"$ "&#以%8为中线的三角形是!!!!(以%7为角平分线的三角形是!!!!(以%@为高的 钝角三角形是!!!!!!!!$ "$#已知 5 2 %&+ +$(则% ! 5 2 %&8 +!!!!$ " 若%@+&(则&+的长为!!!!(&8的长为!!!!$ # 若D是边%+的中点(则8D与%&的数量关系是!!!!!!(位置关系是!!!!!!! 温馨提示!请完成分层进阶练习册;*# 3*" 习题 !% .HK=-2-2h+3-(h+3)=-2-3h. :△DEC为等腰三角形，.分三种情况讨论： 5m=2K,B0=(-F-3h)×3=- 3 (h+ ①当ED=EC时，∠EDC=∠C=65°： 2 ②当DC=DE时，∠DEC=∠C=65, 0 ∴∠EDC=180°-2×6