第四节 二次函数的图象与性质-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学精讲册（河北专用）

众相原创!河北数学 第四节!二次函数的图象与性质 一阶! 教材知识全梳理 知识点 " 二次函数的图象与性质!"# 年 1 考#%#%&!"*$%#%&!%&!""$%#%%!%&!""" "!概念 一般地(形如/+#-% 0$-0("#%$%(是常数%# ' ##的函数(叫做二次函数!其中(-是自变量(#( $((分别是函数解析式的二次项系数!一次项系数和常数项! #!图象与性质#二次函数的图象为抛物线$ 解析式 /+#- % 0$-0("# ' ## "的符号 # 5# # 6# 大致图象 开口方向 开口向 ! !!!! 开口向 " !!!! 对称轴 直线-+ # !!!! 顶点坐标 " % !!!!( & !!!!!# 增减性 在对称轴左侧(/随-的增大而 ' !!!!$ 在对称轴右侧(/随-的增大而 ( !!!! 在对称轴左侧(/随-的增大而 ) !!!!$ 在对称轴右侧(/随-的增大而 * !!!! 最值 有最 + !!!!值 有最 ,-. !!!!值 当-+ ,-/ !!!!时(/取得最值(最值为 ,-0 !!!!!! $!比较抛物线上两点纵坐标大小的方法 方法 适用情况 解题步骤 代值 比较法 抛物线解析式!点 的横坐标均已知 直接将点的横坐标代入抛物线的解析式(求出对应的纵坐标(进行 比较即可 图象 比较法 抛物线解析式或点 的横坐标中存在 参数 综合利用抛物线的开口方向!增减性及点与抛物线对称轴的水平 距离进行比较% ""#若两点在对称轴的同侧(则根据抛物线的开口方向和/随-的 变化趋势进行判断$ "%#若两点在对称轴的异侧(则根据抛物线的开口方向和两点与对 称轴的水平距离进行判断% ! 当 # 5# 时(点与对称轴的水平距离越小(纵坐标越 ,-1 !!!!$ " 当 # 6# 时(点与对称轴的水平距离越小(纵坐标越 ,-2 !!!! !特别提醒"当 #的符号不确定时%需要进行分类讨论 &# 众相原创!河北数学 知识点 # 二次函数图象与系数的关系 开口方向 %由 "决定& 开口向上 " # ,-3 !!!!$开口向下 " # ,-4 !!!!! 4#4越大(开口越小 对称轴%由 "($决定& 对称轴在/轴左侧 " / $ %# 6#"即 #%$同号#$ 对称轴是/轴 " / $ %# +#"即$ ,-5 !!!!#$ 对称轴在/轴右侧 ",-6 !!!!"即 #($ ,78 !!!!# 与'轴的 交点 %由)决定& 与/轴正半轴相交 " (5#$ 过原点 ",7. !!!!$ 与/轴负半轴相交 ",7/ !!!! 与 (轴的 交点个数 %由 $% /$") 决定& 与-轴有两个交点 " $ % /$#(5#$ 与-轴有一个交点 " $ % /$#(+#$ 与-轴无交点 ",70 !!!!!! 其他特殊 关系 先把含 #($((的项移到等式"或不等式#的一边 看到 %# 0$(比较/ $ %# 和 " 的大小 看到 %# /$(比较/ $ %# 和 ,71 !!!!的大小 看到 # 0$0((找当-+" 时(/的值 看到 # /$0((找当-+ ,72 !!!!时(/的值 看到 $# 0%$0((找当-+% 时(/的值 看到 $# /%$0((找当 -+ ,73 !!!!时( /的值 知识点 $ 二次函数解析式的确定!"# 年 . 考#%#%"!%.!%"" "!基本方法#待定系数法$ #!步骤#设解析式 ) 代入已知点坐标得方程"组# ) 解方程"组# ) 得解析式$ $!根据已知条件(设合适形式的解析式 已知条件 应设解析式 任意三个点的坐标 一般式#/+#-% 0$-0("# ' ## 顶点坐标"A(=# 0其他点坐标 顶点式#/+# ,74 !!!! 0="# ' ## 与-轴的两个交点的坐标"- " (##("- % (## 0其他点坐标 交点式#/+# ,75 !!!!!!"# ' ## !特别提醒"#"$当抛物线与-轴的两个交点的坐标为#- " %#$%#- % %#$时%抛物线的对称轴为直 线-+ - " 0- % % &#%$当已知抛物线与-轴的一个交点坐标0对称轴时%可求出抛物线与-轴的另 一个交点的坐标%仍可设交点式! '# 众相原创!河北数学 知识点 % 二次函数图象的几何变换!"# 年 " 考#%#%%!%&!%"" "!二次函数%一般式&图象的平移 平移前的解析式 平移方向%%5#& 平移后的解析式 口诀 /+#- % 0$-0("# ' ## 向左平移*个单位长度 /+#"-0*# % 0$"-0*# 0( 向右平移*个单位长度 /+ ,76 !!!!!!!!! 向上平移*个单位长度 /+#- % 0$-0(0* 向下平移*个单位长度 /+ ,:8 !!!!!!!!! 左加右