第三节 反比例函数及其应用-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学精讲册（河北专用）

众相原创!河北数学 第三节!反比例函数及其应用 一阶! 教材知识全梳理 知识点 " 反比例函数的图象与性质!"# 年 : 考#%#%&!":$%#%%!"%$%#%"!"2" 解析式 /+ = - "=为常数%= ' ## 取值范围 - ' #(/ ' # #的符号 =5# =6# 大致图象 所在象限 ! !!!! " !!!! 图象特征 双曲线(无限接近坐标轴(但不与坐标轴相交 图象上点的坐标特征 横坐标与纵坐标的积恒为 # !!!! 增减性 在 % !!!!!!内(/随 -的增大 而 & !!!!! 在 ' !!!!!!内(/随-的增大 而 ( !!!!! 对称性 中心对称%关于 ) !!!!成中心对称 轴对称%关于直线/+-和直线 * !!!!对称 !特别提醒"#"$反比例函数的图象只在每个分支上具有增减性%不能认为在整个自变量取值 范围内增大#或减小$&#%$在比较反比例函数图象上点的纵坐标大小时%需要分情况讨论" ! 若两点在同一象限%则根据函数的增减性来比较& " 若两点在不同象限%则根据所在象限的 纵坐标的符号进行比较%正数5负数! 知识点 # 反比例函数中=的几何意义 "!=的几何意义 如图(过双曲线/+ = - 上任一点6"-(/#分别作-轴(/轴的垂线6:(6;(所得 矩形6:3;的面积 5 +4-4*4/4+4-/4+4=4! #!与=的几何意义有关的面积计算 常见图形 对应面积 一点一垂线#及变形$ !! !! 5阴影 ++!!!! 一点两垂线#及变形$ ! ! 两点一垂线 ! 5阴影 +4=4 "# 众相原创!河北数学 续表 两点两垂线 !!!!! 5阴影 +,-.!!!!! !特别提醒"#"$利用=的几何意义解题时%通常过图象上的点向坐标轴作垂线&#%$因为=有 正*负之分%所以用=表示三角形或四边形的面积时%要给=加绝对值! 知识点 $ 反比例函数解析式的确定!"# 年 & 考#%#%&!":" 方法 步骤 待定系数法 "!设所求反比例函数的解析式为/+ = - "= ' ##$ %!将反比例函数图象上一点的坐标代入解析式(求出=的值$ &!把=的值代入反比例函数解析式/+ = - (写出解析式 利用 #的几何意义 题中已知面积时(考虑利用=的几何意义进行求解% "!由面积求得4=4$ %!结合图象所在象限确定=的符号$ &!将=的值代入解析式即可 知识点 % 反比例函数的实际应用!"# 年 & 考" "!行程问题#路程一定时(速度与时间成反比%速度+ 路程 时间 $ #!销售问题#总销售额一定时(销量与单价成反比%销量+ 总销售额 单价 $ $!面积问题#以矩形为例(矩形面积一定时(其长与宽成反比%长+ 矩形面积 宽 $ %!表格数据类问题#当给出-(/的多组对应值(且每组对应值的乘积相等时(/是-的反比例函数$ &!跨学科问题#""#压强问题%压力一定时(压强与受力面积成反比%压强+ 压力 受力面积 $ "%#电学问题%电压一定时(电流与电阻成反比%电流+ 电压 电阻 $ "&#密度问题%质量一定时(密度与体积成反比%密度+ 质量 体积 ! !特别提醒"在反比例函数的实际应用题中%=都是大于 # 的%-的取值范围也是-5#%图象也 都只在第一象限! 知识点 & 反比例函数与一次函数的综合 "!判断同一平面直角坐标系中反比例函数与一次函数的图象 假设法%针对每一个选项中的图象(先假设一次函数的图象正确(由此确定=的符号(再根据= 的符号判断反比例函数的图象(若符合(则图象正确$若出现矛盾(则图象不正确! ## 众相原创!河北数学 #!反比例函数图象与一次函数图象的交点个数问题 ""#图象判断法 函数类型 #与 #&同号 #与 #&异号 结论 反比例函数 '+ # ( 与 正比例函数 '+#&( ! =与 =?同号(必有 % 个交点(且两交点关于 ,-/ ! ! ! ! 成中心 对称$ " =与=?异号(无交点 反比例函数 '+ # ( 与 一次函数 '+#&( 0$ ! =与 =?同号(必有 ,-0 !!!!个交点$ " =与 =?异号(交点可 能有 % 个(" 个或 # 个 "%#联立解析式判断法 步骤% ! 联立反比例函数和一次函数解析式 /+ = - ( /+=?-0$ { ( 得到 = - +=?-0$$ " 化为一元二次方程=?-% 0$-/=+#"= ' ##$ # 计算一元二次方程根的判别式 ! +$ % /$=?" /=# +$ % 0$==?$ % 由判别式 ! 的符号判断交点的个数% ! 5# " 反比例函数与一次函数的图象有 ,-1 !!!!个交点$ ! +# " 反比例函数与一次函数的图象有 ,-2 !!!!个交点$ ! 6# " 反比例函数与一次函数的图象 ,-3