第三节 一元二次方程及其应用-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学精讲册（河北专用）

众相原创!河北数学 第三节!一元二次方程及其应用 一阶! 教材知识全梳理 知识点 " 一元二次方程的概念 "!一元二次方程必须同时满足三个条件%""#是整式方程$"%#只含有 " 个未知数$"&#未知数的 最高次数是 %! #!一元二次方程的一般形式%#-% 0$-0(+#"# ! !!!!#!其中 " !!!!是二次项( # !!!!是 二次项系数$ % !!!!是一次项( & !!!!是一次项系数$ ' !!!!是常数项! !特别提醒"若题目中有(一元二次方程 #-% 0$-0(+#)%则必然隐含着# ' !! # 这一条件! 知识点 # 一元二次方程的解法!"# 年 " 考" "!基本思路#降次(即将二次方程化为一次方程! #!解法 解法 适用形式 方程的解 直接开 平方法 ""#- % +,", # ## -+<槡, "%#"-0'# % +,", # ## -+ ( !!!! 配方法 二次项系数化为 " 后(一次项系数为偶数(形如%-% 0 %*-+'(配方后为"-0*# % +' 0*%"' 0*% # ## -+ ) !!!!!! 公式法 所有一元二次方程%#-% 0$-0(+# " # ' #($ % /$#( * !!!!##! !特别提醒"#"$要先将一元二次方程化为一般形式& #%$确定 #%$%(的值时要带符号&#&$需先判断$% /$#( 的值与 # 的大小关系"若$% /$#( + !!!!#%则套用 公式求解&若$% /$#( ,-. !!!!#%则方程无解 -+ ,-/ !!!!!!!! 因式分解法 将等号右边的项全部移到 左边后(右边为 #(左边易分 解成两个一次因式的乘积 ""#"-/##"-/$# +# - " +#(- % +$ "%#-"#-0$# +# - " + ,-0 !!!(- % + ,-1 !!! !特别提醒"因式分解法解一元二次方程时%要先将右边的式子移至左边%再进行因式分解! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 不能在等号两边同时约去含有未知数的公因式%避免丢根!如" 举例 错误解法 正确解法 解方程" #%-0"$#-/"$ +%#-/" /////////// , , , , , , /////////// / / / / / / $ 方程两边同时约去公因 式#-/"$%得 %-0" +%% 解得-+ " % 移项%得#%-0"$#-/"$ /%#-/"$ +#% 因式分解%得#%-/"$#-/"$ +#% 于是得 %-/" +# 或-/" +#% 解得- " + " % %- % +" )! 众相原创!河北数学 知识点 $ 一元二次方程根的判别式!"# 年 . 考" "!概念%一般地(式子 ,-2 !!!!叫做一元二次方程 #-% 0$-0(+#"# ' ##根的判别式(通常用希 腊字母& ! '表示它(即 ! + ,-3 !!!!! #!根的情况与判别式的关系 ""#$ % /$#(5# " 一元二次方程 #-% 0$-0(+#"# ' ##有两个 ,-4 !!!!的实数根$ "%#$ % /$#(+# " 一元二次方程 #-% 0$-0(+#"# ' ##有两个 ,-5 !!!!的实数根$ "&#$ % /$#(6# " 一元二次方程 #-% 0$-0(+#"# ' ## ,-6 !!!!实数根! !特别提醒"在使用根的判别式解决问题时%如果二次项系数中含有字母% !!! 那么要加上二次项 系数不为 !!!!! # 这个限制条件! 知识点 % 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程 #-% 0$-0(+#"# ' ##的两根分别是- " (- % (那么- " 0- % + ,78 !!!!!!( - " - % + ,7. !!!!! !特别提醒"使用一元二次方程根与系数的关系的前提"方程是一元二次方程%且有根%即 # ' # 且$% /$#( # #! !知识拓展"根与系数关系的常见变形形式" ""#- % " 0- % % +"- " 0- % # % /%- " - % $!!!!!!!"%#"- " /- % # % + ,7/ !!!!!!!$ "&#"- " 0"#"- % 0"# +- " - % 0"- " 0- % # 0"$ "$# " - " 0 " - % + - " 0- % - " - % $ ".# - " - % 0 - % - " + "- " 0- % # % /%- " - % - " - % $ "*#4- " /- % 4+ "- " 0- % # % /$- " -槡 % ! 知识点 & 一元二次方程的实际应用!"# 年 " 考" "!列一元二次方程解实际应用题的步骤#审!设!列!解!验!答!