湖北省荆荆襄宜七校考试联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

2023年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高二期中联考 数 学 试 题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 2．2023年7月18日，第31届全国青少年爱国主义读书教育活动启动，某校为了迎接此次活动，对本校高一高二年级学生进行了前期阅读时间抽查，得到日阅读时间（单位：分钟）的统计表如下： 年级 抽查人数 平均时间 方差 高一 40 50 4 高二 60 40 6 则估计两个年级学生日阅读时间的方差为（    ） A．52 B．29.2 C．10 D．6.4 3．如图，在空间四边形中，，，，点满足，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知直线：与：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知点在椭圆上，是椭圆的左､右焦点，若，且的面积为1，则的最小值为（    ） A．2 B． C．2 D．4 6．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（    ） A． B． C． D． 7．已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于点A，与双曲线的一条渐近线在第一象限交于点，且（O为坐标原点）.下列三个结论正确的是（    ） 1 B的坐标为（a,b）；②；③若，则双曲线的离心率； A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数：去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（    ） A．剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变 B． C．剩下18个数据的分位数大于原样本数据的分位数 D． 10．下列叙述正确的是（    ） A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 B．从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 C．甲､乙两人下棋，两人下成和棋的概率为 ，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为 D．在件产品中，有件一等品和件二等品，从中任取件，那么事件“至多一件一等品”的概率为 11．已知圆，过直线上一点P作圆O的两条切线，切点分别为，则（    ） A．若点，则直线AB的方程为 B．面积的最小值为 C．直线AB过定点 D．以线段AB为直径的圆可能不经过点O 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆交于，两点，点，则（    ） A．的最小值为9 B．四边形的周长为8 C．直线，的斜率之积为 D．若点为椭圆上的一个动点，则的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．求经过（2, 2）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 14．已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为 ，则到平面的距离为______________． 15．已知双曲线的方程为，点是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是_____________． 16．已知三棱锥中，，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为__________________． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，是棱上的中点． (1)证明平面； (2)求三棱锥的体积． 18．已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于不同的两点，且为坐标原点，求直线的方程． 19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，M是线段BF上的一动点，过点M和直线AD的平面与FC，EC分别交于P，Q两点． (1)若M为BF的中点，请在图中作出线段PQ，并说明P，Q的位置及理由； (2)线段BF上是否存在点M，使得直线AC与平面所成角的正弦值为？若存在，求出MB的长；若不存在，请说明理由． 20．已知椭圆，其上顶点为A； (1) 若直线与椭圆C交于P､Q两点，求证：为定值； (2) 由椭圆C上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形，现以为直角顶点作椭圆C的内接等腰直角三