精品解析：吉林省长春市南关区长春市实验中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

长春市实验中学 2023-2024学年上学期期中考试 高二数学试卷 一、单选题（每题5分） 1. 若直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角大小为（ ） A B. C. D. 2. 直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 2或 3. 2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ） A. 9或1 B. 1 C. 9 D. 9或2 5. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A B. C. D. 6. 已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C. -4 D. 4 7. 如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（　　） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系xOy中，点，若直线：上存在点M，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分） 9. 已知椭圆，，是椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 的最大值为3 C. D. 10. 已知圆和点，则过点的圆的切线方程为（ ） A. B. C. D. 11. 平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）．在平面直角坐标系中，，动点满足，其轨迹为曲线，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 曲线关于原点对称 C. 面积的最大值为2 D. 的取值范围为 12. 已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法错误的是（ ） A. 圆上恰有一个点到直线的距离为 B. 切线长的最小值为 C. 四边形面积的最小值为2 D. 直线恒过定点 三、填空题（每题5分） 13. 椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率等于________． 14. 点关于直线对称的点的坐标为______． 15. 已知点M（1，0）是圆C:内的一点，那么过点M的最短弦所在的直线方程是 ． 16. 已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________. 五、解答题 17. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. （1）求双曲线方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 18. 如图，在正方体中，分别是的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 19. 设直线：及直线外一点． （1）写出点到直线的距离公式； （2）推导点到直线距离公式． 20. 已知两圆和． （1）求两圆的公共弦所在直线的方程； （2）求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 21. 如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为棱上的一点． （1）证明：； （2）若二面角余弦值为，求的值． 22. 已知点在椭圆上，设点为的短轴的上、下顶点，点是椭圆上任意一点，且，的斜率之积为. （1）求的方程； （2）过的两焦点、作两条相互平行的直线，交于，和，，求四边形面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长春市实验中学 2023-2024学年上学期期中考试 高二数学试卷 一、单选题（每题5分） 1. 若直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用直线方向向量可求得，结合特殊角的三角函数值即可求得结果. 【详解】由题意知，设直线l的倾斜角为，则， 又， 所以，即. 故选：C. 2. 直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】求出两直线不相交时的a值，再验证即可得解. 【详解】当直线与直线不相交时，，解得， 当时，直线与直线重合，不符合题意，舍去； 当时，直线，即与直线平行， 所以实数的值为. 故选：C 3. 2023年7月20日中