3.2.1函数的零点课件第二课时-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

函数零点的意义 1 1 函数的零点 2 3 二分法 4 课后作业 CONTENTS 目 录 函数零点存在定理 2 请同学们根据已有知识回答下列问题： 3 展示完答案后，补充：发现问题234的解集把定义域分为了三部分，这三部分两两不相交，且他们的并集是定义域. 4 函数零点的定义 6 7 8 9 10 11 12 零点存在定理 02 13 请同学们思考下面的问题： 带着上半节的问题，三次方程能算出近似解吗？先请同学们思考下面的问题 14 发现：f(x)在区间(a,b)一定有零点 15 函数零点存在定理 16 如果一个函数在区间（a,b）有零点，不一定有函数是连续的、f(a)f(b)异号 如果一个函数在区间（a,b）有零点,f(a)f(b)的符号如何？ 17 18 二分法 03 19 思考 20 21 22 23 给定精确度 ，用二分法求零点近似值的步骤是什么？ 24 二分法求零点近似值 的程序框图 输入 是 否 开始 输出 是 结束 是 否 否 25 26 “精确度”与“精确到”的区别： 27 28 例7： 30 31 （4）不等式的解集是什么？ （5）请你在平面直角坐标系中画出函数的图像，并且总结上面四个问题中方程的解集、不等式的解集与函数的定义域及函数图像之间的关系. 已知函数，请问 （1）这个函数的定义域是什么？ （2）方程的解集是什么？ （3）不等式的解集是什么？ （4）不等式的解集是. （5）函数的图像如图所示： （1）函数的定义域是实数集R. （2）方程的解集是. 已知函数， （3）不等式的解集是. 通过上面四个问题，可以发现：根据函数值的符号可以把函数的定义域分为几个不相交的集合.具体来说，假设函数的定义域为，若 则两两的交集都为空集，且.根据函数的图像，可以方便地看出: 函数值等于0的方程的解集为函数图像与轴交 点的横坐标的集合， 函数值大于0的不等式的解集为轴上方的图像所对应的横坐标的集合， 函数值小于0的不等式的解集为轴下方的图像所对应的横坐标的集合. （3）不是所有的函数都有零点，例如函数就没有零点. 一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则称为函数的零点． 注意： （1）函数的零点是一个实数，是使函数值为0的自变量的值. 函数的零点不是点. （2）函数有零点函数的图像与轴有交点 方程有实根. （4）是函数零点的充分必要条件是是函数图像与轴的公共点. （5）从函数的图像上能方便地看出函数的零点，但是只有少数函数的图像为我们所熟悉，更多函数的图像不能轻易得到.反过来，如果知道了函数的零点，且能够进一步得到函数在零点附近的符号信息，就能作出函数图像的示意图. 的解集为 例1. 如图所示是函数的图像，分别写出，，的解集. 解：由图可知： 的解集为 的解集为 （3） 解：令得，得，解得或，它们都不等于0，因此函数的零点为和. （2） 例1. 求下列函数的零点. 解：令得，因此函数的零点为. （1） 解：令得，解得或，因此函数的零点为和. 其中，此时零点为. 综上，函数的零点为和. 例2. 求下列函数的零点. （4） 解：当时，令得，此时零点为； 当时，令得， (ⅰ)若，函数的零点为； (ⅱ)若，函数的零点为，. 综上所述：当或时，零点为； 当且时，零点为，. 例2. 求下列函数的零点. （5） 解：①当时，令得. ②当时，令得或. 思考：对于例3中的三次方程，你能求出它的零点的精确值吗？如果不能，你能想办法求出零点的近似解吗？ 例3. 求函数的零点. 如图所示，已知都是函数图像上的点，而且函数图像是 连接两点的连续不断的曲线（注：这里曲线也包含直线），画 出三种的可能的图像. 判断是否一定存在零点，总结一般规律. 可尝试画出如下三种图像： 如果函数在区间上的图像是连续不断的，并且（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数在区间中至少有一个零点，即，. 注意： （1）满足条件的零点不唯一. 但是如果函数在区间上的图像不间断，且函数在区间上单调，当时，存在唯一的使得. （2）在区间上不满足“连续” “异号”这两个条件的函数，在区间中依然可能存在零点.即函数零点存在定理只是给出了函数零点存在的充分条件，不是必要条件. 例如，二次函数在区间的情形，不满足“异号”的条件，但是存在零点. 例如，如图所示的不连续情形，也存在零点. 例4. 根据函数零点存在定理，证明函数至少存在一个零点. 证明：尝试计算特殊点处的函数值，发现0和-2处的函数值为 所以，根据函数零点存在定理知，，即结论成立. 在例4中，我们找到了零点存在的一个区间，想找到零点的精确值并不容易，但是我们能不能想办法得到这个零点的近似值呢？ 如果在区间中任取一个数作为的近似值，那么误差小于多少？ 如果取区间的中点作为的近似值，那么误差小于多少？