专题04 导数及其应用（4大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）

专题04 导数及其应用 易错点一：忽略切点所在位置及求导简化形式（导数的概念及应用） 一、导数的概念和几何性质 1．概念函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 诠释：①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即． 2．几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3．物理意义函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 二、导数的运算 1．求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2．导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3．复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 应用1．在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 应用2．过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 易错提醒：1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点： 连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 3．利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围． 4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 （1）注意曲线上横坐标的取值范围； （2）谨记切点既在切线上又在曲线上． 例 ．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，都有，求的取值范围． 变式1．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个不等的实根，求实数的取值范围. 变式2．已知函数. (1)当时，求过原点且与的图象相切的直线方程； (2)若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数的取值范围. 变式3．．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对，恒成立．求实数的取值范围． 1．已知函数与的图象关于直线对称，直线与的图象均相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．若曲线存在与直线垂直的切线，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则（    ） A． B．1 C． D． 4．曲线在点处的切线在y轴上的截距的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A．函数在处的切线方程为 B．函数有两个零点 C．函数的极大值点在区间内 D．函数在上单调递减 6．已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（    ） A．的图象关于原点中心对称 B．在区间上的最小值为 C．过点有且仅有1条直线与曲线相切 D．若过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 8．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线； (2)讨论的单调性； (3)当时，若对任意实数，恒成立，求的取值范围. 9．已知函数，且，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，，，讨论函数的零点个数． 10．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围. 11．已知，函数，． (1)当时，若斜率为0的直线l是的一条切线，求切点的坐标； (2)若与有相同的最小值，求实数a． 易错点二：转化为恒成立后参变分离变号的前提条件（利用导数研究函数的单调性） 1．求可导函数单调区间的一般步骤 第一步：确定函数的定义域； 第